Ideen fuer einen neuen Mathematik-Unterricht (3/3)

Stammbrüche

Die Ägypter gelten als Erfinder der Stammbrüche in der Form 1/a 1/b 1/c oder einfach 'a 'b 'c in meiner Notation. - Die Wurzel 2, das Verhältnis der Diagonale zur Seite eines Quadrates, können wir mit 99/70 annähern und den Bruch auf die folgende Weise in Stammbrüche überführen:

99 70 + 14 + 10 + 7 297 210 + 70 + 14 + 3

-- = ---------------- = --- = -----------------

70 70 210 210

Mit Kürzen findet man die Reihen 1 '5 '7 '14 und 1 '5 '7 '14. Selbst in meiner vereinfachten Schreibweise ist das eine umständliche Art, den Bruch 99/70 anzugeben. So haben denn die ägyptischen Stammbrüche einen schlechten Ruf: sie gelten als kompliziert und umständlich. Sind sie es auch? Ich probierte mit ihnen zu arbeiten und entdeckte, dass man mit diesen sonderbaren Reihen sehr leicht multiplizieren kann, wenn man ganz einfach alle Zwischenergebnisse rundet - die Fehler gleichen sich mehr oder weniger aus, die Fehler sind überraschend klein, man kann bequem mit ganzen Zahlen arbeiten und braucht als Hilfsmittel lediglich Multiplikationstabellen oder ein Rechenbrett wie im ersten Kapitel vorgeschlagen. - Ein Beispiel. Die Basis der Chefren-Pyramide mass 411 Ellen. Wie lang war die Diagonale des Basisquadrates? Ich multipliziere 411 mit 1, dann mit '5, dann mit '7, dann mit '14 und runde die Zahlen:

411 x 1 = 411

411 x '5 = 82 (abgerundet)

411 x '7 = 59 (aufgerundet)

411 x '14 = 29 (abgerundet)

-----------------

Summe 581

Die Diagonale mass 581 Ellen, mit einem Fehler von 13 Zentimetern.. Wenn wir es genauer wissen möchten, verwandeln wir die 411 Ellen in 2877 Handbreiten und stellen wieder dieselbe Rechnung an:

2877 x 1 = 2877

2877 x '5 = 575 (abgerundet)

2877 x '7 = 411

2877 x '14 = 205 '2 ??

Hier haben wir ein Problem: sollen wir '2 aufrunden oder abrunden? Keins von beidem, wir verwenden stattdessen die alternative Reihe 1 '3 '15 '70:

2877 x 1 = 2877

2877 x '3 = 959

2877 x '15 = 192 (aufgerundet)

2877 x '70 = 41 (abgerundet)

-------------------

Summe 4069

Die Diagonale mass 4069 Handbreiten, mit einem Fehler von nur noch 23 Millimetern. Wenn wir es noch genauer haben wollen, verwandeln wir die 2877 Handbreiten in 11'508 Fingerbreiten und gehen wieder gleich vor:

11508 x 1 = 11508

11508 x '3 = 3836

11508 x '15 = 767 (abgerundet)

11508 x '70 = 164 (abgerundet)

---------------------

Summe 16275

Demnach mass die Diagonale der Basis der Chefren-Pyramide 16'275 Fingerbreiten (581 Ellen 7 Fingerbreiten oder 581 1/4 Ellen), mit einem Fehler von nur noch 4 (vier) Millimetern.

Wieviel gibt 184 mal 2 '6 '7 mal 5 '3 '5 ?

184 mal 2 '6 '7 gleich 368 31 26 = 425

425 mal 5 '3 '5 gleich 2125 142 85 = 2352

184 mal 5 '3 '5 gleich 920 61 37 = 1018

1018 mal 2 '6 '7 gleich 2036 170 145 = 2351

Ergebnisse 2351 und 2352, Mittelwert 2351 '2, Fehler kleiner als ein Zehntel.

317 mal 3 '3 '11 gleich 951 106 29 = 1086

1086 mal 4 '5 '13 gleich 4344 217 84 = 4645

317 mal 4 '5 '13 gleich 1268 63 24 = 1355

1355 mal 3 '3 '11 gleich 4065 452 123 = 4640

Ergebnisse 4640 und 4645, Mittelwert 4642 '2, Fehler kleiner als ein Dreissigstel.

Wieviel gibt 5 '3 '7 '11 mal 5 '3 '7 '11? Diesmal multiplizieren wir das Produkt mit einem Faktor von 100 und teilen das Ergebnis wieder durch 100:

100 mal 5 '3 '7 '11 gleich 500 33 14 9 = 556

556 mal 5 '3 '7 '11 gleich 2780 185 79 51 = 3095

3095 durch 100 gibt praktisch 31, genaues Ergebnis 30,992598..., Fehler kleiner als 1/135.

Ich habe viele solcher Multiplikationen ausgeführt und kam immer auf ein brauchbares, meist ein sehr gutes Ergebnis. Also wollte ich schauen, wie weit ich gehen kann und ersann die folgende Aufgabe. Jemand bringe die Summe von 68'954 Franken (die erstbeste Zahl die mir einfiel) auf die Bank. Diese gewähre einen Zins von '101 '202 '303 '606 (eine Zahl aus dem Papyrus Rhind). Wie steigt das Vermögen bis im Jahr 15 an?

Jahr 1 Vermögen 68'954 Zins 683 341 228 114 = 1'366

Jahr 2 Vermögen 70'320 Zins 696 348 232 116 = 1'392

Jahr 3 Vermögen 71'712 Zins 710 355 237 118 = 1'420

Jahr 4 Vermögen 73'132 Zins 724 362 241 121 = 1'448

Jahr 5 Vermögen 74'580 Zins 738 369 246 123 = 1'476

Jahr 6 Vermögen 76'056 Zins 753 377 251 126 = 1'507

Jahr 7 Vermögen 77'563 Zins 768 384 256 128 = 1'536

Jahr 8 Vermögen 79'099 Zins 783 392 261 131 = 1'567

Jahr 9 Vermögen 80'666 Zins 799 399 266 133 = 1'597

Jahr 10 Vermögen 82'263 Zins 814 407 271 136 = 1'628

Jahr 11 Vermögen 83'891 Zins 831 415 277 138 = 1'661

Jahr 12 Vermögen 85'552 Zins 847 424 282 141 = 1'694

Jahr 13 Vermögen 87'246 Zins 864 432 288 144 = 1'728

Jahr 14 Vermögen 88'974 Zins 881 440 294 147 = 1'762

Jahr 15 Vermögen 90'736

Im Jahr 15 beträgt das Vermögen 90'736 Franken. Und welches wäre der genaue Betrag? 68'954 mal (1 + 2/101) hoch 14 gleich 68'954 mal 1,3158971... gleich 90'736,365... Franken. Obschon wir alle Zahlen gerundet haben, beträgt der Fehler nicht einmal 40 Rappen, und wenn wir mit einer Summe von 6'895'400 Rappen begännen, so wäre er kleiner als 4 (vier) Rappen.

Ein kurzer Weg zur Kreiszahl π

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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

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Die Zeilen der obigen Pyramide geben die ungeraden Zahlen vor: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ... Jede solche Pyramide lässt sich in ein Quadrat derselben Höhe und derselben Fläche bzw. Anzahl Steinchen umwandeln. Die ausgeführte Pyramide hat eine Höhe von 8 Einheiten, die Seitenlänge des Quadrates misst ebenfalls 8 Einheiten, und beide Figuren bestehen aus 8 mal 8 gleich 64 Steinchen. Aus 64 Würfeln könnte man einen neuen Würfel zusammenstellen, dessen Kantenlänge 4 Einheiten und dessen Volumen 4 mal 4 mal 4 gleich 64 Kubikeinheiten misst. Mit 64 Steinchen kann man viele Muster auslegen, zum Beispiel diese hier:

o o o o o o o o

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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o ooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

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Eine weitere Möglichkeit, 64 Steinchen auf regelmässige Weise auszulegen: in einer Linie, die man so oft als möglich halbiert:

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

oooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooo

oooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooo oooooooooooooooo

oooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooo oooooooo oooooooo

oooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooo oooooooo oooo oooo

oooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooo oooooooo oooo oo oo

oooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooo oooooooo oooo oo o o

In Zahlen:

64 = 64

64 = 32 + 32

64 = 32 + 16 + 16

64 = 32 + 16 + 8 + 8

64 = 32 + 16 + 8 + 4 + 4

64 = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 2

64 = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 1

Ich teile sämtliche Zahlen durch 64, kürze die Brüche und schreibe die resultierenden Stammbrüche auf meine Weise:

1 = '1

1 = '2 '2

1 = '2 '4 '4

1 = '2 '4 '8 '8

1 = '2 '4 '8 '16 '16

1 = '2 '4 '8 '16 '32 '32

1 = '2 '4 '8 '16 '32 '64 '64

Damit haben wir die berühmte ägyptische Reihe des Horus-Auges gefunden: 1 = '2 '4 '8 '16 '32 '64 (...) oder, in Faktoren gegliedert:1 = '2 '2x2 '2x2x2 '2x2x2x2 '2x2x2x2x2 '2x2x2x2x2x2 (...) Sowohl die Zahlentreppe wie auch die Reihe lassen sich ins Unendliche fortführen.

Ein Auge des Horus war der Mond, sein anderes Auge war die Sonne. Wenn es eine zweite Reihe des Horus-Auges gegeben haben sollte, könnte es wohl diese hier gewesen sein:

60 = 60

60 = 30 + 30

60 = 30 + 10 + 20

60 = 30 + 10 + 5 + 15

60 = 30 + 10 + 5 + 3 + 12

60 = 30 + 10 + 5 + 3 + 2 + 10

1 = '1

1 = '2 '2

1 = '2 '6 '3

1 = '2 '6 '12 '4

1 = '2 '6 '12 '20 '5

1 = '2 '6 '12 '20 '30 '6

1 = '1

1 = '1x2 '2

1 = '1x2 '2x3 '3

1 = '1x2 '2x3 '3x4 '4

1 = '1x2 '2x3 '3x4 '4x5 '5

1 = '1x2 '2x3 '3x4 '4x5 '5x6 '6

Auch diese Zahlentreppe kann man beliebig weiterführen. Sie resultiert in einer schönen Reihe mit einer faszinierenden Teilreihe:

1 = '1x2 '2x3 '3x4 '4x5 '5x6 '6x7 '7x8 '8x9 ...

'1x2 '2x3 '5x6 '6x7 ... = π/4

Aus der Teilreihe gewinnt man mit Umformen der Doppelglieder eine neue Reihe, in der die Folge der ungeraden Zahlen zu Ehren kommt:

π/8 = '1x3 '5x7 '9x11 '13x15 '17x19 '21x23 '25x27 ...

Diese Reihe lässt sich in die berühmte Reihe von Gregory und Leibniz umwandeln, die allerdings schon dem indischen Mathematiker Madhavan (1340 bis 1425) bekannt war:

π/4 = 1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 ...

Ein magischer Quader (Aufgabe Nummer 32 des Papyrus Rhind)

Der Schreiber Ahmes teilt 2 durch 1/13 1/4 und bekommt 1 1/6 1/12 1/114 1/228:

2 durch 1 '3 '4 gleich 1 '6 '12 '114 '228

Anfänger lernen an diesem Beispiel mit Stammbrüchen umzugehen. Fortgeschrittene mögen eine anspruchsvollere Aufgabe lösen: Ein Quader messe 2 Einheiten mal 1 '3 '4 Einheiten mal 1 '6 '12 '114 '228 Einheiten. Wie lang sind die kubischen Diagonalen dieses Quaders? Ganz einfach

1 '3 '4 Einheiten plus 1 '6 '12 '114 '228 Einheiten

oder

1 1 plus '3 '6 plus '4 '12 plus '114 '228 Einheiten

oder

2 '2 '3 '76 Einheiten

Ahmes könnte wohl im Magazin seiner Schule einen Quader dieser Masse verwahrt haben, auf dem die Zahlen eingetragen waren und auf dem ein Textlein wie das Folgende stand: Teile 2 durch eine beliebige Zahl a, so bekommst du b. Die Höhe eines Quaders messe 2 Einheiten, die Länge oder Breite a Einheiten, die Breite oder Länge b Einheiten. Die Basis misst ab Quadrateinheiten, das Volumen 2ab Kubikeinheiten, und die Raumdiagonalen messen a+b Einheiten.

Aufgabe Ein Kornspeicher in Form eines "magischen Quaders" habe ein Volumen von 500 Kubikellen. Finde vernünftige Masse für den Speicher in Ellen, Handbreiten oder Fingerbreiten ♣

Eine Lösung dieser Aufgabe wäre ein Kornspeicher mit den Innenmassen 49-50-70 Handbreiten und einer kubischen Diagonale von genau 99 Handbreiten. Ändern wir diese Masse ein wenig ab, so bekommen wir noch einfachere Zahlen: Innenhöhe 10 Ellen oder 70 Handbreiten oder 280 Fingerbreiten, Innenbreite gleich Innenlänge, nämlich 198 Fingerbreiten, Raumdiagonale praktisch 396 Fingerbreiten oder 99 Handbreiten. Einen solchen Speicher mit dem Fassungsvermögen von praktisch 500 Kubikellen kann man sehr einfach mithilfe einer Knotenschnur ausmessen:

Breite Länge Höhe

o------------o------------o-----------------o

99 99 140

198 140

o-------------------------o-----------------o

Raumdiagonale Diagonale Basis

Mein Schlüssel für das Verstehen der ägyptischen Symbole:

einfach aber komplex

Mein Schlüssel für das Verstehen der ägyptischen Mathematik:

einfach aber clever

Diese Motto könnte auch für den Mathematik-Unterricht gelten: die ersten Methoden sollten ganz einfach sein, so dass alle Kinder sie leicht begreifen, und gleichzeitig mögen es clevere Methoden sein, welche die Kinder zum Spielen einladen, ihre Neugier wecken.

Ein Getreidemass (Aufgabe Nummer 38 des Papyrus Rhind)

Das altägpytische Längenmass war auf eine besondere Weise gegliedert. Eine Königselle mass in der Pyramidenzeit 52,36 cm, im Neuen Reich 52,5 cm und zählte 7 Handbreiten oder 28 Fingerbreiten oder 56 Re-Marken oder 84 Schu-Marken oder 112 Tefnut-Marken oder 140 Geb-Marken oder 168 Nut-Marken oder 196 Osiris-Marken oder 224 Isis-Marken oder 252 Seth-Marken oder 280 Nephtys-Marken oder 308 Horus-Marken oder 336 Imsety-Marken oder 364 Hapy-Marken oder 392 Duamutf-Marken oder 420 Kebsenuf-Marken oder 468 Thoth-Marken (Königselle Amenhoteps, Ägyptisches Museum Turin).

In Aufgabe Nummer 38 des Papyrus Rhind notiert Ahmes eine sonderbare Gleichung:

1 Hekat mal 3 '7 mal '22 von 7 gleich 1 Hekat

Ein Hekat war ein Hohlmass für Getreide. 30 Hekat waren eine Kubikelle. 1 Hekat lässt sich als ein quaderförmiger Hohlraum der folgenden Masse definieren: eine halbe Königselle mal eine Drittel Königselle mal eine Fünftel Königselle:

'2 Elle mal '3 Elle mal '5 Elle gleich 1 Hekat

Die feineren Masseinheiten erlauben weitere Definitionen eines quaderförmigen Hekat:

28 Re-Marken mal 28 Schu-Marken mal 28 Geb-Marken

210 auf 140 auf 84 Kebsenuf-Marken

Die kubische Diagonale des quaderförmigen Hekat misst genau 266 Kebsenuf-Marken, gemäss dem Quadrupel 6-10-15-19 resp. der Gleichung 6x6 + 10x10 + 15x15 = 19x19.

Ein Hekat in der Form eines Quaders wäre also wohl definiert. Wie steht es mit anderen Formen? Schauen wir uns nocheinmal die sonderbare Gleichung von Ahmes an:

1 Hekat mal 3 '7 mal '7 von 22 = 1 Hekat

Die Zahl 3 '7 (in unserer Schreibweise 3 1/7) und ihr Kehrwert '7 von 22 (in unserer Schreibweise 1/7 von 22 oder 22/7) erinnern an einen berühmten Näherungswert der Kreiszahl π. Ein Hinweis auf ein Hekat in Form eines Hohlzylinders? Ich ersetze das linke Hekat in Ahmes' Gleichung mit einer der obigen Definitionen des Hohlmasses:

210 KM x 140 KM x 84 KM x 3 '7 x '7 x 22 = 1 Hekat

Anschliessend transformiere ich die lange Gleichung:

'4 x 105 KM x 105 KM x 3 '7 x '11 x 3136 KM = 1 hekat

Der erste Term

'4 x 105 KM x 105 KM x 3 '7 oder '4 x 7F x 7F x 3 '7

kann als die Fläche eines Kreises vom Durchmesser 7 Fingerbreiten oder '4 Königselle interpretiert werden, während der zweite Term

'11 x 3136 Qm = 19 '165

als Höhe eines Hohlraumes in Form eines Zylinders von der Kapazität eines Hekat gelesen werden kann. So haben wir ein rundes Hekat gefunden:

Innendurchmesser 7 Fingerbreiten 14 Fingerbreiten

Innenumfang 22 Fingerbreiten 44 Fingerbreiten

Innenhöhe 19 Fingerbreiten 19 Fingerbreiten

Fassungsvermögen 1 Hekat 1 Quadrupel-Hekat

Die Fehler sind winzig (viel kleiner als die unvermeidlichen Messfehler).

Bibliographie

Marie E.P. König, Am Anfang der Kultur, Die Zeichensprache des frühen Menschen, Gebrüder Mann Verlag Berlin 1973, Unsere Vergangenheit ist älter, Höhlenkult Alt-Europas, S. Fischer Verlag Frankfurt am Main 1980

Sylvia Couchoud, Mathématiques Egyptiennes, Recherche sur les connaissances mathématiques de l'Egypte pharaonique, Editions Le Léopard d'Or Paris 1993

Paulus Gerdes, Ethnomathematik, dargestellt am Beispiel der Sona Geometrie, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin Oxford 1997

Victor J. Katz, A History of Mathematics, Addison Wesley 1998

Jörg Arndt und Christoph Haenel, Pi - Algorithmen, Computer, Arithmetik, Mit CD-Rom, Zweite überarbeitete und erweiterte Auflage, Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2000

Franz Gnaedinger, Erbe der Steinzeit, Von den Anfängen der Mathematik, Zürich 1995 / In The House of Seshat (Volume A:) Symbol, Form and Number in Ancient Egypt, Zurich 2001 (darin unter anderem Interpretationen von 55 Problemen aus dem Papyrus Rhind)

Ferner sei auf die zahlreichen Publikationen der International Study Group on Ethnomathematics ISGEm hingewiesen, der ich seit dem Sommer 2001 angehöre.

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