Ideen für einen neuen Mathematik-Unterricht (1/3) / © 1979-2001 by Franz Gnaedinger, Zurich, fg(a)seshat.ch, fgn(a)bluemail.ch / www.seshat.ch

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Ideen für einen neuen Mathematik-Unterricht

Was für Muster kann man mit 9 Steinchen auslegen? Hier ein paar Versuche, inspiriert von paläolithischen Felsgravuren in Höhlen der Ile de France (Paris und Umgebung), wie sie in den Büchern von Marie E.P. König zu sehen sind.

Aufgabe  Finde weitere Muster, auch mit einer grösseren Anzahl von Steinchen ♣

A very simple computer

Please draw a grid with 3 rows of 3 squares and number them 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Add four squares as above and mark two of them with the number zero, and the other two with the letter X (Roman ten). Inscribe the number 0 twice and twice the letter X. Now use a set of pretty pebbles, or polished mineral disks, or beans, and you have got a very simple computer ...

How to use it? First, let us consider just the nine central fields numbered from one to nine. Let us place four small pebbles (or mineral disks, or beans) at the corners like this:

1 2 3     o . o     1 . 3

4 5 6     . . .     . . .     1 + 3 + 7 + 9 = 20

7 8 9     o . o     7 . 9

The pebbles (or mineral disks, or beans) represent the numbers 1, 3, 7, 9, and add up to 20. Now let us play with the pebbles. Move one pebble to the right hand side and another one to the left hand side. The resulting sum will again be 20:

1 2 3     . o o     . 2 3

4 5 6     . . .     . . .     2 + 3 + 7 + 8 = 20

7 8 9     o o .     7 8 .

Now move one pebble downwards, another one upwards. The sum will remain 20:

1 2 3     . . o     . . 3

4 5 6     o o .     4 5 .     3 + 4 + 5 + 8 = 20

7 8 9     . o .     . 8 .

Move one pebble downwards two fields, and two other pebbles upwards one field each. The sum will remain 20:

1 2 3     o o .     1 2 .

4 5 6     . . .     . . .     1 + 2 + 8 + 9 = 20

7 8 9     . o o     . 8 9

Move one pebble downwards in an oblique direction and another upwards in the parallel direction. The sum will remain 20:

1 2 3     o . .     1 . .

4 5 6     o . o     4 . 6     1 + 4 + 6 + 9 = 20

7 8 9     . . o     . . 9

Move one pebble two fields towards the right, and another one two fields towards the left. The sum will remain 20:

1 2 3     . . o     . . 3

4 5 6     o . o     4 . 6     3 + 4 + 6 + 7 = 20

7 8 9     o . .     7 . .

Move one pebble to the left hand side and one to the right hand side. The sum will remain 20:

1 2 3     . o .     . 2 .

4 5 6     o . o     4 . 6     2 + 4 + 6 + 8 = 20

7 8 9     . o .     . 8 .

All the above patterns represent the number 20. Two of them are shown again below:

o . o     1 . 3        . o .    . 2 .

. . .     . . .        o . o    4 . 6

o . o     7 . 9        . o .    . 8 .

Task: Using three pebbles, lay out the number 15. Move the pebbles about in the above manner, find all the possible variants, and draw them on paper.

Now let us go a step further. Using that very simple number field plus the four additional squares marked 0 and X we can add up small numbers. An example: How much is 1 plus 4 plus 8 plus 3? Place pebbles (or mineral disks, or beans) on the respective squares:

0

0 1 2 3       o . o     1 . 3

4 5 6       o . .     4 . .   sum = ??

7 8 9 X     . o .     . 8 .

X

Now try to move as many pebbles as possible from the center field to the four side fields, whereby each move must be followed by a counter-move. You may proceed in this way:

0           0           0

o . o     0 . . o     0 . . .     0 . . .     0 . . .

o . .       o . .       . . .       . . o       . . 6

. o .       . . o       o . o       . . .       . . .

X           X

Result: two zeroes, one six, a Roman ten, sum sixteen. Checking the result on a pocket calculator: 1 + 4 + 8 + 3 = 16.

1 plus 3 plus 7 plus 9 should equal 20:

.                                   0

o . o     0 . . o        0 . . .

. . .       . . .          . . .       0 + 0 + X + X = 20

o . o       o . . X        . . . X

X

2 plus 4 plus 6 plus 8 should again equal 20:

X

. o .     o . .     0 . . .      0 . . o       0 . . .

o . o     o . o       o . o        . . .         . . .

. o .     . . o       . . . X      o . . X       . . . X

0

A couple of tasks: How much is 4 times 4? 5 times 5? 6 times 6? Place four beans on field 4, or five beans on field 5, or six beans on field 6, and proceed as above ♣ How much is 3 times 7? Place three beans on field 7 and proceed as above ♣ How much is 7 times 3? Place seven beans on field 3 and proceed as above ♣ 1 plus 8 plus 3x5 minus 7 = ?? Place the beans on the respective fields, move them in such a way that one of them comes to lay on field 7, remove that bean, and proceed again as above.

Variants: You may lay out cotton or felt squares on the classroom floor, sit around them,  use larger pebbles, and discuss the moves. Or you may draw a large field with chalk on the floor of a school-yard, and the children may act as numbers ...

Such games might give children a feeling for numbers and take away their fear of the mathematical disciplines.

A more demanding calculating board

How much is 24 times 25? This calculation may be carried out using a calculating board consisting of three fields and two lines, small beans for the number 1 (here given by the letter o), and large beans for the number ten (here given by the letter X). As a first step lay out the number 24 in the above line, then the number 10x24 = 240 in the second line. For the second step multiply the first line by a factor of 2, and the second line by a factor of 5. Finally, add the numbers together. If you have proceeded correctly, you will obtain 600

Task: How much is 625 times 625? (this problem requires a calculating board consisting of 6 fields of 3 lines each).

Der allereinfachste Computer

0

1 2 3       0 . . .

4 5 6         . . .

7 8 9         . . . X

0

Das Wort Computer kommt vom lateinischen computare = zusammenrechnen, berechnen. Ein einfacher Computer wäre ein Spielfeld aus 3 mal 3 gleich 9 Feldern, welche die Zahlen von 1 bis 9 repräsentieren; dazu kämen je zwei Felder mit dem Zahlenwert 0 und X = römisch Zehn.

Man lege Steinchen (zum Beispiel geschliffene Mineralien-Scheibchen) auf die Felder. Jedes von ihnen nehme den Wert seines Feldes an. Ein Beispiel. Ich lege je ein Steinchen auf die Ecken des Spielfeldes und bekomme so die Zahlen 1, 3, 7, 9 mit der Summe 20:

1 2 3     o . o     1 . 3

4 5 6     . . .     . . .     1 + 3 + 7 + 9 = 20

7 8 9     o . o     7 . 9

Nun können wir mit den Steinchen spielen. Ich verschiebe eines nach rechts und dafür ein anderes nach links, so bleibt die Summe 20 erhalten:

1 2 3     . o o     . 2 3

4 5 6     . . .     . . .     2 + 3 + 7 + 8 = 20

7 8 9     o o .     7 8 .

Man bewege ein Steinchen nach unten, ein anderes nach oben:

1 2 3     . . o     . . 3

4 5 6     o o .     4 5 .     3 + 4 + 5 + 8 = 20

7 8 9     . o .     . 8 .

Man bewege ein Steinchen um zwei Felder nach unten, dafür zwei andere je um ein Feld nach oben:

1 2 3     o o .     1 2 .

4 5 6     . . .     . . .     1 + 2 + 8 + 9 = 20

7 8 9     . o o     . 8 9

Man bewege ein Steinchen schräg nach unten, das andere parallel nach oben:

1 2 3     o . .     1 . .

4 5 6     o . o     4 . 6     1 + 4 + 6 + 9 = 20

7 8 9     . . o     . . 9

Man bewege ein Steinchen zwei Häuschen nach rechts, das andere zwei Häuschen nach links:

1 2 3     . . o     . . 3

4 5 6     o . o     4 . 6     3 + 4 + 6 + 7 = 20

7 8 9     o . .     7 . .

Man schiebe ein Steinchen nach rechts, ein anderes nach links:

1 2 3     . o .     . 2 .

4 5 6     o . o     4 . 6     2 + 4 + 6 + 8 = 20

7 8 9     . o .     . 8 .

Alle obigen Muster bilden die Zahl 20 ab, das erste mit ungeraden, das letzte mit geraden Zahlen:

o . o     1 . 3     . o .    . 2 .

. . .     . . .     o . o    4 . 6

o . o     7 . 9     . o .    . 8 .

Als nächstes kann man mithilfe dieses einfaches Computers addieren. Wieviel gibt 1 plus 4 plus 8 plus 3? Man lege Steinchen auf die entsprechenden Felder und führe beliebige Züge aus - mit der Auflage, dass auf jeden Zug ein Gegenzug im obigen Sinne folge. Wenn ein Steinchen links oben oder rechts oben aus dem Spielfeld verschwindet (0), so nimmt es den Wert Null an, wenn dafür ein Steinchen links unten oder rechts unten aus dem Spielfeld verschoben wird (X, römisch Zehn), nimmt es den Wert 10 an. Ein Beispiel. Wieviel ergibt 1 plus 4 plus 8 plus 3?

0

0 1 2 3       o . o     1 . 3

4 5 6       o . .     4 . .   Summe gleich ??

7 8 9 X     . o .     . 8 .

X

Ich schiebe ein Steinchen nach links aus dem Feld (0) und eines um ein Häuschen nach rechts; dann schiebe ich ein Steinchen nach oben aus dem Feld (0) und ein anderes um ein Häuschen nach unten; dann schiebe ich dasselbe Steinchen nach unten aus dem Feld (X), und als Gegenzug das verbleibende Steinchen um ein Häuschen nach oben:

0            0           0

o . o     0 . . o     0 . . .     0 . . .     0 . . .

o . .       o . .       . . .       . . o       . . 6

. o .       . . o       o . o       . . .       . . .

X           X

Als Ergebnis bekomme ich zweimal 0 gleich Null, einmal X gleich 10, und einmal 6, macht zusammen 16. Es gäbe mehrere Lösungswege (bitte ausprobieren); alle führen zum selben Ergebnis. Probe mit dem Taschenrechner: 1 + 4 + 8 + 3 = 16. / 1 plus 3 plus 7 plus 9 sollte 20 ergeben, desgleichen die Summe 2 plus 4 plus 6 plus 8:

.                                   0

o . o     0 . . o        0 . . .

. . .       . . .          . . .       0 + 0 + X + X = 20

o . o       o . . X        . . . X

X

X

. o .     o . .     0 . . .      0 . . o       0 . . .

o . o     o . o       o . o        . . .         . . .

. o .     . . o       . . . X      o . . X       . . . X

0

Aufgaben  Nimm 3 Steinchen, lege die Zahl 15 aus, finde alle Varianten und zeichne sie auf Papier. ♣ Wieviel gibt 4 mal 4? Wieviel gibt 5mal 5? Wieviel gibt 6 mal 6? Lege 4 Bohnen auf das Feld Nummer 4 resp. 5 Bohnen auf das Feld Nummer 5 resp. 6 Bohnen auf das Feld Nummer 6 und verfahre wie oben. ♣ Wieviel gibt 3 mal 7? Lege 3 Bohnen auf das Feld Nummer 7 ... ♣ Wieviel gibt 7 mal 3? Lege 7 Bohnen auf das Feld Nummer 3 ... ♣ 1 plus 8 plus 3x5 minus 7 gleich ?? Lege die Bohnen aus, bewege sie so dass eine auf Feld Nummer 7 kommt, hebe diese Bohne weg und fahre fort wie oben. ♣

Variante: die Felder mit Kreide auf den Boden zeichnen oder mit Filzplatten auslegen, grosse Scheiben als Zahlsymbole verwenden, die Züge besprechen.

Spiele solcher Art könnten Schulkindern in den ersten Klassen ein Gefühl für Zahlen geben und ihnen vielleicht ein wenig die Furcht vor der Mathematik nehmen.

Ein Rechenbrett für höhere Ansprüche

Wieviel gibt 24 mal 25? Diese Aufgabe lässt sich mit einem Rechenbrett aus 3 Feldern und 2 Zeilen sowie gewöhnlichen Symbolsteinchen für die Zahl Eins (o) und grösseren Symbolsteinchen für die Zahl (X) lösen. Man lege die Zahl 24 in der ersten Zeile aus, dann die Zahl 10 mal 24 gleich 240 in der zweiten Zeile. Danach multipliziere man die beiden Zeilen mit den Faktoren 2 und 5. Dann zähle man die Steinchen zusammen und wird 600 bekommen:

Aufgabe  Wieviel gibt 625 mal 625? Diese Multiplikation erfordert ein Rechenbrett mit 6 Feldern à 3 Zeilen ♣

Goldenes Rechteck

Wer erinnert sich noch an die Definition des Goldenen Schnittes? Wer könnte noch ein Goldenes Rechteck zeichnen? Hier eine sehr einfache Methode zu seiner Approximation: Zeichne ein beliebiges Rechteck. Ergänze eine der längeren Seiten zum Quadrat, so resultiert ein neues Rechteck. Ergänze eine der längeren Seiten dieses Rechteckes zum Quadrat, so resultiert wieder ein neues Rechteck. Und so weiter. Der Rahmen der Figur nähert sich dem Goldenen Rechteck an:

Beginnt man mit dem Quadrat 1 mal 1, so findet man beim Auszählen der Seitenlängen des wachsenden Rechteckes die sog. Fibonacci-Folge

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...;

Beginnt man mit dem Rechteck 1 mal 3, so findet man die sog. Lucas-Folge

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322 ...

Diese und weitere goldene Zahlfolgen lassen sich auch numerisch gewinnen:

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

5 + 8 = 13

8 + 13 = 21

13 + 21 = 34

21 + 34 = 55

34 + 55 = 89

55 + 89 = 144

..............

1 + 3 = 4

3 + 4 = 7

4 + 7 = 11

7 + 11 = 18

11 + 18 = 29

18 + 29 = 47

29 + 47 = 76

47 + 76 = 123

76 + 123 = 199

123 + 199 = 322

..............

Das Spiel geht mit jedem beliebigen Paar Anfangszahlen, etwa 2 und 7 respektive 7 und 2:

2 + 7 = 9

7 + 9 = 16

9 + 16 = 25

16 + 25 = 41

25 + 41 = 66

41 + 66 = 107

66 + 107 = 173

107 + 173 = 280  usw.

7 + 2 = 9

2 + 9 = 11

9 + 11 = 20

11 + 20 = 31

20 + 31 = 51

31 + 51 = 82

51 + 82 = 133

82 + 133 = 215  usw.

Man kann auch Fehler machen, die Zahlen bilden dennoch eine goldene Folge:

1 + 4 = 5

4 + 5 = 11

5 + 11 = 16

11 + 16 = 27

16 + 27 = 43  usw.

1 + 2 = 3

2 + 3 = 4

3 + 4 = 7

4 + 7 = 12

7 + 12 = 19

12 + 19 = 31

19 + 31 = 50  usw.

Gitter

Die altsteinzeitlichen Felsgravuren in den Höhlen der Ile de France (Paris und Umgebung) zeigen viele Netze oder Gitter, bisweilen in Kombination mit einer runden Form, während ein Nummulitus perforatus aus einer paläolithischen Siedlung in Ungarn ein feines eingraviertes Kreuz aufweist. Gemäss der plausiblen Erklärung von Marie E.P. König symbolisieren die runden Formen den Himmel, die eine Kreisachse und die zu ihr parallelen Gitterlinien die Richtung Ost-West, die andere Kreisachse und ihre Gitterlinien die Richtung Süd-Nord, und die aus den Linien gebildeten Häuschen die Himmelshäuser ...

Sollten die paläolithischen Rundformen und Gitter wirklich auf den Himmel und seine überirdischen Mächte verweisen, so dürften die Menschen jener Zeiten sehr wohl ein Interesse daran gehabt haben, solchen ersten geometrischen Formen eine ganz besondere Beachtung zu schenken, denn wer weiss, ob das Geheimnis der Himmelsmächte über ihr Abbild zu erforschen sei?

Gitter haben nicht nur eine symbolische Bedeutung: sie führen geradewegs zur Geometrie und erschliessen selbst ein vor-archimedisches Verfahren der Kreisberechnung, das in einem späteren Kapitel vorgestellt werden soll.

Die Gitter der Felsgravuren sind unregelmässig geformt, was gewiss an dem harten Stein liegt. Wir können uns aber sehr wohl vorstellen, dass einige Schamanen jener längst vergangenen Zeit an einem Flussufer eine glatte Lehmbank vorfanden, einen gleichmässig runden Holzstab in regelmässigen Abständen mit Baststreifen umwickelten, den Stab auf der Lehmbank abrollten, erst in einer Richtung, dann in quer dazu, und auf solche Weise ein nahezu perfektes Gitter bekamen, welches eingehende Studien erlaubte ...

Aufgaben  Versuche mit möglichst einfachen Mitteln, wie sie auch in der Steinzeit zur Verfügung standen, ein genaues Gitter zu zeichnen ♣ Verbinde Gitterpunkte mit Linien zu geometrischen Figuren ♣ Wenn solche Figuren aus parallelen Linien gebildet werden, so sind ihre Flächen zwar von angeschnittenen Häuschen eingerahmt, bestehen aber aus einer ganzen Anzahl Häuschen. Begründe dies ♣ Erfinde Spiele ♣

Mit Ocker bemalte Kiesel aus der Steinzeit (siehe die Bücher von Marie E.P. König) weisen einen oder mehrere Punkte auf und könnten wohl als Zahlensteine gedient haben. Wie wurden sie gebraucht? Vielleicht in Kombination mit Gittern? Lässt sich mit ihrer Hilfe gar eine Art steinzeitlicher "Computer" im Sinne des ersten Kapitels rekonstruieren? Offene archäologische Fragen, die vielleicht zum Spielen animieren. (Ich darf mich an dieser Stelle als Fan der experimentellen Archäologie outen.)