Ideen fuer einen neuen Mathematik-Unterricht (2/3)

Wie lang sind die Diagonalen eines Quadrates?

Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und ein Paar gleich langer Diagonalen. Wie lang sind die Diagonalen eines Quadrates von gegebener Seitenlänge? grid Man messe die Diagonalen verschiedener Gitterquadrate und schaue, ob eine Diagonale annähernd ganze Einheiten beträgt. Beim Auszählen und Ausmessen der Quadrate 1x1, 2x2, 3x3, 5x5, 7x7, 10x10, 12x12, 17x17, 24x24, 29x29 ... wird man folgende Zahlen finden:

Seite 1 Diagonale zwischen 1 und 2

Seite 2 Diagonale weniger als 3

Seite 3 Diagonale mehr als 4

---------------------------------

Seite 5 Diagonale ungefähr 7

Seite 5 Diagonale ein wenig mehr als 7

Seite 7 Diagonale etwas weniger als 10

-----------------------------------------

Seite 12 Diagonale praktisch 17

Seite 17 Diagonale praktisch 24

--------------------------------

Seite 29 Diagonale praktisch 41

Diese Zahlen offenbaren eine Regelmässigkeit und führten mich 1979 zu einer schrägen Säule, deren Bildungsgesetz leicht zu erraten sein sollte:

1 1 2

2 3 4

5 7 10

12 17 24

29 41 58

70 99 140 und so weiter

Zählt man zwei benachbarte Zahlen einer Zeile zusammen, so erhält man die Zahl darunter. Verdoppelt man die erste Zahl einer Zeile, so erhält man die dritte Zahl derselben Zeile. Misst ein Quadrat 5 mal 5 Einheiten, so betragen seine Diagonalen annähernd 7 Einheiten. Misst ein Quadrat 17 mal 17 Einheiten, so betragen seine Diagonalen praktisch 24 Einheiten. Misst ein Quadrat 70 mal 70 Einheiten, so betragen seine Diagonalen schon sehr genau 99 Einheiten.

Die Seitenlänge eines Quadrates messe 125 Einheiten. Wie lang sind seine Diagonalen? Man gehe so vor:

Seite 125 = 99 + 17 + 7 + 2

140 + 24 + 10 + 3 = 177 Diagonale

Seite 125 = 70 + 41 + 7 + 7

99 + 58 + 10 + 10 = 177 Diagonale

Die Diagonale misst rund 177 Einheiten, der Fehler ist kleiner als eine Viertel-Einheit. Möchte man ein genaueres Ergebnis haben, so verwende man eine Seitenlänge von 1'250 Zehntel-Einheiten, 12'500 Hunderstel-Einheiten, usw.

Auch eine solche Zahlsäule kann man mit jedem beliebigen Zahlenpaar beginnen, zum Beispiel mit 7 und 3, und auch hier sind Fehler erlaubt:

7 3 14

10 19 20

29 39 58

68 97 136

165 233 330 usw.

Misst ein Quadrat 165 mal 165 Einheiten, so betragen seine Diagonalen näherungsweise 233 Einheiten. Es kommt nicht auf die gewählten Anfangszahlen an, und Fehler spielen keine Rolle, wichtig ist allein der Algorithmus, also das Verfahren: verdopple jeweils die erste Zahl einer Zeile, und zähle die benachbarten Zahlenpaare zusammen und schreibe die Summe darunter. Am Beispiel dieser Zahlsäulen können die Schulkinder lernen, was ein Algorithmus bedeutet.

Aufgaben Die ägyptische Königselle zählte 7 Handbreiten. Ein Quadrat messe 10 mal 10 Ellen. Wie lang sind seine Diagonalen in Handbreiten bzw. in Ellen und Handbreiten? ♣ Die Basis der Roten Pyramide von Dahschur mass ursprünglich 420 Ellen mal 420 Ellen. Wie lang war die Diagonale der Basis in Ellen? ♣ Georges Goyon definierte die Form der Cheops-Pyramide folgendermassen: die Höhe verhält sich zur halben Basis wie 14 zu 7, und zur halben Basisdiagonale wie 9 zu 10. Kombiniere die beiden Definitionen. Die Höhe messe 126 Einheiten. Was für Zahlen ergeben sich an der Basis? ♣ Die Babylonier verwendeten die Zahl 1;24,51,10 für die Wurzel 2 (Täfelchen YBC 7289, um 1650 vor Christus), umgerechnet 1 plus 24/60 plus 51/3600 plus 10/216000 = 1,41421296... Wie könnten sie diesen ausgezeichneten Wert gefunden haben? Verlängere die erste Zahlsäule bis zu den Zahlen 985 und 1393, teile die grössere Zahl durch die kleinere, das ergibt auf dem Taschenrechner 1,4142132, überführe die Zahl in die sexagesimale Form (nimm 1 weg, multipliziere den Rest mit 60, nimm 24 weg, multipliziere den Rest mit 60, nimm 51 weg, multipliziere den Rest mit 60, usw.), das ergibt 1; 24,51,10,3,2..., lass die Ziffern ...3,2... weg und behalte 1;24,51,10 ♣ Eudoxus von Knidos soll seine mathematische Ausbildung in Ägypten bekommen haben. Von ihm stammt die sog. Leiter des Eudoxus:

1 1

2 3

5 7

12 17

29 41

70 99

Bestimme den Algorithmus dieser Zahlenleiter ♣

Würfel, gleichseitiges Dreieck, regelmässiges Sechseck

Eine analoge Zahlsäule beginne mit der Zeile 1-1-3, die erste Zahl einer Zeile wird jeweils mit 3 multipliziert, und wenn möglich werden alle drei Zahlen einer Zeile halbiert:

1 1 3

2 4 6

1 2 3

3 5 9

8 14 24

4 7 12

11 19 33

30 52 90

15 26 45

41 71 123

112 194 336

56 97 168

... ... ...

Ein Würfel messe 41 Einheiten mal 41 Einheiten mal 41 Einheiten. Die Diagonalen der Seitenflächen messen praktisch 58 Einheiten (erste Zahlsäule). Die Raumdiagonalen oder kubischen Diagonalen messen praktisch 71 Einheiten (obige Säule).

Beträgt die Seitenlänge eines gleichseitigen Dreieckes 30 Einheiten, so misst die Höhe ungefähr 30 Einheiten. / Beträgt die Seitenlänge eines gleichseitigen Dreieckes 97 Einheiten, so misst die Höhe praktisch 84 Einheiten, der Radius des Umkreises 56 Einheiten, und der Radius des Innenkreises 28 Einheiten.

Aufgaben Die ägyptische Königselle zählte 7 Handbreiten oder 28 Fingerbreiten. Ein Würfel messe 10 Ellen mal 10 Ellen mal 10 Ellen. Bestimme die Länge der Diagonalen der Seitenflächen in Handbreiten und die Länge der Raumdiagonalen in Fingerbreiten. ♣ Die Seitenlänge eines gleichseitigen Dreieckes messe 97 Fingerbreiten. Wieviel misst die Höhe in Ellen? Wieviel messen die Radien des Umkreises und des Innenkreises in Ellen? ♣ Archimedes verwendete die Verhältnisse 265 / 153 und 1351 / 780 für die Wurzel 3. Wie könnte er seine Zahlen gefunden haben? Verlängere die obige Säule ...♣

Doppelquadrat

Eine weitere Zahlsäule in Wabenform erlaubt die Berechnung des Doppelquadrates

1 1 5

2 6 10

1 3 5

4 8 20

2 4 10

1 2 5

3 7 15

10 22 50

5 11 25

16 36 80

8 18 40

4 9 20

13 29 65

42 94 210

21 47 105

68 152 340

34 76 170

17 38 85

55 123 275

178 398 890

89 199 445

288 644 1440

144 322 720

72 161 360

... ...

Misst ein Rechteck 4 mal 8 Einheiten, so betragen seine Diagonalen annähernd 9 Einheiten. Misst ein Rechteck 17 mal 34 Einheiten., so betragen seine Diagonalen ziemlich genau 38 Einheiten. Misst ein Rechteck 72 mal 144 Einheiten, so betragen seine Diagonalen praktisch 161 Einheiten.

Aufgabe In der obigen Säule sind drei goldene Zahlfolgen enthalten. Wer findet sie? ♣

Der Altar von Delos (ein Volumen verdoppeln)

Plutarch von Chairona (der im ersten und zweiten nachchristlichen Jahrhundert lebte) berichtet in einer Dramatisierung, wie Plato und Simmias von Theben im Jahr 379 vor Christus von einer Ägyptenreise heimkehren (es folgt meine Übersetzung des englischen Zitates in der Mathematik-Geschichte von Victor J. Katz - an sich eine Sünde, man sollte immer das Original konsultieren, aber item): Als wir von Ägypten heimkehrten, begegnete uns eine Schar Delier und fragte Plato, ob er als Geometer ein Problem lösen könne das ihnen Apollo in einem sonderbaren Orakel aufgegeben habe. Das Orakel ging so: Die gegenwärtigen Probleme der Delier und der übrigen Griechen würden aufhören, wenn sie den Altar von Delos verdoppelten. Da sie den Sinn dieser Worte nicht zu ergründen vermochten und beim Bauen eines neuen Altares kläglich scheiterten, fragten sie Plato um Rat. Dieser meinte, dass sich Apollo über die Griechen lustig mache, weil es ihnen an Bildung fehle. Keine gewöhnliche kurzsichtige Intelligenz könne dieses Problem lösen, nur ein versierter Geist (one well versed in the subject) wäre fähig, zwei mittlere Proportionen zu finden (two mean proportionals), mit deren Hilfe das Volumen eines kubischen Körpers unter Beibehaltung seiner Form verdoppelt werden könne. Eudoxus von Knidos wäre in der Lage, ihnen zu helfen. Es sei aber anzunehmen, dass es dem Gott nicht eigentlich um diese Aufgabe gehe, vielmehr wolle er, dass ganz Griechenland den Krieg aufgebe und stattdessen die Musen pflege und die Leidenschaften über das Studium mathematischer Probleme und über das praktische Ausüben der geometrischen Künste zähme, auf dass das allgemeine Zusammenleben nicht schädlich sondern förderlich sei. - Eudoxus von Knidos (der wie oben gesagt seine mathematische Ausbildung in Aegypten bekam) erlöste die Delier, indem er das Volumen des Altares im Heiligtum von Delos verdoppelte. Wie mag er vorgegangen sein? Er könnte wohl das folgende Zahlenmuster verwendet haben, das zwischen Eckwerten der Form a und 2a tatsächlich zwei mittlere Proportionen aufweist, wobei der Fehler mit zunehmender Zeilenzahl immer kleiner wird. Man gehe vor wie bei den obigen Säulen, kürze aber regelmässig mit 3:

1 1 1 2

2 2 3 4

4 5 7 8

9 12 15 18

3 4 5 6

7 9 11 14

16 20 25 32

36 45 57 72

12 15 19 36

12 15 19 24

27 34 43 54

61 77 97 122

138 174 219 276

46 58 73 92

104 131 165 208

235 296 373 470

531 669 843 1062

177 223 281 354

400 504 635 800 und so weiter

Die Kante eines Würfels betrage 4 Meter oder 400 Zentimeter. Verdoppelt man sein Volumen, so misst die neue Kantenlänge praktisch 504 Zentimeter (genau 503.968... cm).

Möchte man ein beliebiges Volumen verdoppeln, so verlängere man alle Kanten um den Faktor 504/400 = 126/100 = 63/50 = 1,26 (Dezimalbruch) = 1 1/4 1/100 (Stammbrüche) oder 1 '4 '100 (Stammbrüche in meiner einfachen Notation).

Aufgabe Ein Quader messe 46 mal 58 mal 73 Zentimeter. Verdopple sein Volumen unter Beibehaltung seiner Form. Ergebnis: 58 mal 73 x 92 Zentimeter. Prüfe das Ergebnis mit einem Taschenrechner ♣

Das Heilige Dreieck 3-4-5

Beim Ausmessen von Gitterdiagonalen kommt man früher oder später auf eine bemerkenswerte Einsicht: misst ein Rechteck 3 mal 4 Einheiten, so betragen seine Diagonalen 5 Einheiten Sacred Triangle Halbiert man ein solches Rechteck längs einer Diagonale, so erhält man zwei Dreiecke der Seitenlängen 3-4-5 Einheiten.

Stimmt die Länge der Diagonale genau? Oder nur fast genau? Sehen wir die folgende Zeichnung an. In einen Rasterplan sind zwei gleich grosse Quadrate eingefügt. Ihre Seiten messen je 7 Einheiten und sind in 3 plus 4 Einheiten beziehungsweise in 4 plus 3 Einheiten gegliedert. Gerade und schräge Linien verbinden die Teilungspunkte. So entstehen zwei Rechtecke und zwei Quadrate (links) bzw. ein schräges Quadrat und vier Dreiecke (rechts) proof 1

Ein Rechteck misst 3 mal 4 gleich 12 Häuschen, beide Rechtecke zusammen haben eine Fläche von 24 Häuschen. Die Katheten der Dreiecke messen 3 und 4 Einheiten. Zwei Rechtecke zusammen ergäben ein Rechteck von 3 mal 4 Einheiten und einer Fläche von 12 Häuschen. Die beiden Rechtecke und die vier Dreiecke haben zusammen je die gleiche Fläche: 24 Häuschen. / Die Flächen der beiden grossen Quadrate zählen je 7 mal 7 gleich 49 Häuschen. Ziehen wir die 24 Häuschen ab, so bleiben 25 Häuschen für die beiden kleinen Quadrate links und für das schräge Quadrat rechts. Die Seitenlängen der linken Quadrate und die Katheten der Dreiecke messen je 3 und 4 Einheiten. Wie lang ist die Seite des schrägen Quadrates, mithin die Hypotenuse eines Dreieckes? Die Fläche des schrägen Quadrates beträgt 25 Häuschen. 5 mal 5 gibt 25, also beträgt die Seitenlänge des schrägen Quadrates und Hypotenuse der vier Dreiecke 5 Einheiten. Genau 5 Einheiten.

Wie verhält es sich, wenn wir die Seiten der grossen Quadrate anders teilen? In gewissen Fällen ergibt sich wieder eine genaue ganzzahlige Lösung, etwa in den Fällen 5 und 12, oder 8 und 15, oder 20 und 21, ... Die entsprechenden Diagonalen oder Hypotenusen messen dann genau 13, 17, 29 ... Einheiten.

Wie verhält es sich, wenn wir die Seiten der grossen Quadrate allgemein in die Strecken a und b teilen? In diesem Fall ergeben sich folgende Flächen: grosses Quadrat (a+b)(a+b), Rechteck ab, Summe der Rechtecke 2ab, Dreieck ab/2, Summe der Dreiecke 2ab, kleine Quadrate aa und bb, zusammen aa + bb, schräges Quadrat gleich Summe der kleinen Quadrate gleich aa + bb proof 2

Dies führt zu einer berühmten Formel, die nach Pythagoras benannt ist, aber schon lange vor dem Aufblühen der klassischen griechischen Zivilisation in Gebrauch war: in einem rechtwinkligen Dreieck der Seitenlängen a-b-c gilt die Formel aa + bb = cc. Das einfachste Beispiel wäre das sogenannte Heilige Dreieck 3-4-5, denn 3x3 plus 4x4 gibt 5x5.

Die Formel gilt in erweiterter Form auch für Quader. Misst ein solcher a mal b mal c Einheiten und messen seine Diagonalen d Einheiten, so gilt die Formel aa + bb + cc = dd. Das einfachste Beispiel wäre ein Quader der Masse 1 mal 2 mal 2 Einheiten: seine kubischen Diagonalen messen genau 3 Einheiten, denn 1x1 plus 2x2 plus 2x2 gleich 3x3.

Das Dreieck der Seitenlängen 3-4-5 soll im alten Ägypten Heiliges Dreieck geheissen haben. Woher dieser eigenartige Name? Wie im folgenden Kapitel gezeigt werden soll, ist dieses geometrische Figur der Schlüssel zum einfachsten Verfahren der systematischen Kreisberechnung, und wenn wir bedenken, dass der Sonnengott Re als kleiner Kreis dargestellt worden war - Abbild der kreisrunden Sonnenscheibe -, und wenn wir ferner bedenken, dass im alten Ägypten alle Eigenschaften einer Person wie auch ihr Name, ihre Körperfarbe und sogar ihr Schatten zu ihrem Wesen gezählt wurden, so darf man wohl in einem Schlüssel zum Wesen der obersten Gottheit eine heilige Figur erblicken ...

Aufgaben Die Zahlsäule für die Berechnung des Quadrates liefert die Tripel 1-1-1, 1-1-2, 2-2-4, 3-3-4, 5-5-7, 7-7-10, 12-12-17, 17-17-24, 29-29-41, 41-41-58, 70-70-99, 99-99-140. Wende die obige Formel auf diese Zahlen an. Der Fehler beträgt jeweils 1. Die Fehler bilden ein wiederkehrendes Muster. Finde dieses Muster ♣ Die Basis der Roten Pyramide mass 420 Ellen, die Höhe 200 Ellen. Wie lang war die schräge Höhe? ♣ Jean-Philippe Lauer fand in den Massen der Königskammer der Cheops-Pyramide ein Heiliges Dreieck. Die Kammer hat folgende Masse: Breite 10 Ellen, Länge 20 Ellen, Diagonale der Stirnwand 15 Ellen, Raumdiagonale 25 Ellen. Finde das Heilige Dreieck ♣ Die Basis der Chefren-Pyramide mass 411 Ellen, die Höhe 274 Ellen. Finde das Heilige Dreieck dieser Pyramide ♣ Ahmes erwähnt im Papyrus Rhind mehrere Pyramiden. Eine von ihnen hat eine Basis von 140 Ellen und eine Höhe von 93 1/3 Ellen, eine andere eine Basis von 12 Ellen und eine Höhe von 8 Ellen. Finde das Heilige Dreieck dieser Pyramiden ♣ Auf dem babylonischen Täfelchen Plimpton 322 sind 15 Tripel vermerkt, allerdings fehlt jeweils die kleinste Zahl. Finde die fehlenden Zahlen. Hier die 15 unvollständigen Tripel in der originalen Reihenfolge: ( )-119-169, ( )-3367-4825, ( )-4601-6649, ( )-12'709-18'541, ( )-65-97, ( )-319-481, ( ) 2291-3541, ( )-799-1249, ( )-481-769, ( )-4961-8161, ( )-45-75, ( )1679-2929, ( )-161-289, ( )-1771-3229, ( )-56-106 ♣

Re hat viele Namen (den Kreis berechnen)

Die ägyptische Königselle zählt 7 Handbreiten oder 28 Fingerbreiten. Man denke sich ein Quadrat von 10 auf 10 Ellen oder 70 auf 70 Handbreiten oder 280 auf 280 Fingerbreiten. Seine Diagonalen messen praktisch 99 Handbreiten. Man unterteile das Quadrat in 10 mal 10 Häuschen, deren Seitenlängen je eine Elle oder 7 Handbreiten oder 28 Fingerbreiten messen. Dann zeichne man einen Kreis um die Quadratmitte. Die Peripherie gehe durch die vier Enden der Achsen (a d g j). Der Radius misst 5 Ellen oder 35 Handbreiten oder 140 Fingerbreiten. Der Kreis passiert nicht nur die vier Achsenenden sondern auch acht innere Gitterpunkte , deren Abstände von den Achsen und von der Kreismitte 3, 4 und 5 Ellen messen (b c e f h i k l):

. . . . . d . . . . .

. . e . . . . . c . .

. f . . . . . . . b .

. . . . . . . . . . .

g . . . . + . . . . a

. . . . . . . . . . .

. h . . . . . . . l .

. . i . . . . . k . .

. . . . . j . . . . .

Die 12 Punkte a-b-c-d-e-f-g-h-i-j-k-a markieren einen Kreis. Die kurzen Bögen b-c e-f h-i k-l messen praktisch 40 Fingerbreiten, die längeren Bögen a-b c-d d-e f-g g-h i-j j-k l-a messen praktisch 90 Fingerbreiten. Der Umfang misst praktisch 880 Fingerbreiten oder 220 Handbreiten. Teilt man ihn durch den Durchmesser 70 Handbreiten, so erhält man den ausgezeichneten Näherungswert 22/7 für π.

Die obige Figur basiert auf dem Heiligen Dreieck 3-4-5 und ist der Schlüssel zu einem mathematischen Verfahren. - Man denke sich ein Quadratgitter, das 10 mal 10, 50 mal 50, 250 mal 250, 1250 mal 1250 ... immer feinere Quadrate zählt. Je feiner das Gitter, desto mehr Punkte liegen auf dem Kreis. Die Enden der Achsen geben 4 Kreispunkte vor. 8, 16, 24, 32 ... weitere Kreispunkte werden von dieser Tripelfolge definiert:

3-4-5 15-20-25 75-100-125 375-500-625 ...

7-24-25 35-120-125 185-600-625 ...

44-117-125 220-585-625 ...

336-527-625 ...

Kennt man ein Tripel a-b-c und möchte man das Folgetripel finden, so berechne man die Terme

plus/minus 4b plus/minus 3a plus/minus 3b plus/minus 4a 5c

und wähle im Fall der plus/minus Terme die positiven Resultate, die auf 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 oder 9 enden (weder auf 0 noch 5). Verbindet man die Kreispunkte mit Geraden, so erhält man eine Folge ungleichseitiger Polygone, die sich mehr und mehr von Innen her dem Kreis anschmiegen.

key figure 1 / key figure 2 / polygon 1 / polygon 2 / polygon 3 / polygon 4 / polygon 5 // polygon a / polygon b / polygon c / polygon d

Die Polygone haben eine sehr bemerkenswerte Eigenschaft: ihre Seitenlängen sind ganzzahlige Vielfache der Quadratwurzeln von 2, 5 und/oder 2x5. Die Wurzeln von 2 und 5 können wir sehr einfach mit zwei der oben vorgestellten Zahlsäulen approximieren. Somit haben wir ein vollständiges Verfahren der Kreisberechnung beisammen. Es ist ein langsames Verfahren, das zu sehr langen Zahlen führt, es liefert aber ein paar sehr gute Näherungswerte für die Kreiszahl π. - Bedenken wir, dass die Bögen immer etwas länger sind als die Seiten der Polygone. Wir können dies in etwa ausgleichen, indem wir solche Werte für die Wurzeln von 2 und 5 verwenden, die etwas grösser sind als die eigentlichen Werte, zum Beispiel 10/7 und 17/12 für die Wurzel 2 und 9/4 für die Wurzel 5:

10/7 mal 10/7 gleich 100/49 etwas mehr als 2

17/12 mal 17/12 gleich 289/122 etwas mehr als 2

9/4 mal 9/4 gleich 81/16 etwas mehr als 5

Berechnet man das erste Polygon mit 10/7 und 9/4 und das zweite Polygon mit 17/12 und 9/4, so erhält man die Näherungen 22/7 und 157/50 für π. Diese beiden sehr guten ersten Näherungswerte haben einen Mittelwert bei ungefähr 311/99. - Der Wert 22/7 gehört einer Zahlenfolge an, die man sehr einfach gewinnen kann. Π ist kleiner als 4 aber etwas grösser als 3. Also schreibe man 4 über 1 und addiere fortlaufend 3 über 1:

4 (plus 3) 7 10 13 16 19 22 25 28

1 (plus 1) 2 3 4 5 6 7 8 9

Die Werte 22/7, 157/50 und 311/99 kommen in einer weiteren Sequenz vor. Man schreibe 2 über 1 und addiere fortlaufend 22 über 7:

3 (plus 22) 25 47 69 91 113 135 157 179 201 223

1 (plus 7) 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71

245 267 289 311 333 355 377 399

78 85 92 99 106 113 120 127

Eine berühmte Formel im Papyrus Rhind besagt, dass ein Quadrat von der Seitenlänge 8 und ein Kreis vom Durchmesser 9 praktisch dieselbe Fläche haben. Dies führt auf den Näherungswert 256/81 für π. Auch dieser Wert gehört einer Zahlfolge an:

9 (plus 19) 28 47 66 85 104 123 142 161 180 199 219 237 256

3 (plus 6) 9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69 75 81

Wir modernen Menschen (Angehörige des frühen Betonzeitalters ;-) verwenden Zahlen mit möglichst vielen Stellen: Goldene Zahl Φ = 1,6180339..., Wurzel 2 = 1,4142135..., Kreiszahl π = 3,1415926... Eine andere ebenso gültige Weise mit irrationalen Zahlen umzugehen wäre verschiedene einfache Näherungswerte zu gebrauchen, handliche Werte für eine gegebene Rechnung auszuwählen und darauf zu vertrauen, dass sich die Fehler in etwa ausgleichen. - Will man die Kreiszahl mit Re, verbinden, so darf man erwähnen, dass er viele Namen hatte während niemand seinen wahren Namen kannte ...

Aufgaben Bilde weitere π-Folgen ♣ Umgib ein Quadrat von 10 mal 10 Ellen mit einem Kreis. Wie lang ist der Kreisumfang in Handbreiten? ♣ Ein Rechteck messe 72 mal 96 Fingerbreiten. Umgib es mit einem Kreis und berechne dessen Umfang ♣ Ein Rechteck messe 14 mal 16 Handbreiten. Umgib es mit einem Kreis und berechne dessen Fläche ♣

Der Zauberstab

Man kombiniere eine Königselle der Länge 52,36 cm mit einem komplementären Mass, das ich Horus-Elle oder Zauberstab oder einfach Stab nenne. 7 Ellen entsprechen 11 Stäben. Ein Stab misst 33,32 cm. Die beiden kombinierten Masse erlauben sehr einfache und dabei verblüffend genaue Definitionen: Eine Strecke messe 5 Ellen, der goldene Minor misst praktisch 3 Stäbe ● Die Seite eines Quadrates messe 10 Stäbe oder 9 Ellen, seine Diagonalen messen praktisch 9 Ellen oder 20 Stäbe ● Der Durchmesser eines Kreises betrage einen Stab, der Umfang misst praktisch zwei Ellen ● Der Radius eines Kreises betrage einen Stab, die Fläche misst praktisch einen Stab mal zwei Ellen ● Der Durchmesser einer Kugel betrage einen Stab, die Oberfläche misst praktisch einen Stab mal zwei Ellen ● Der Durchmesser einer Kugel betrage einen Stab, das Volumen dreier Kugeln misst praktisch einen Stab mal eine Elle mal eine Elle ●

Gemäss Rainer Stadelmann (ehemaliger erster Direktor des Deutschen Archäologischen Institutes Kairo) wurde die Basis der Cheops-Pyramide beinahe unwahrscheinlich genau ausgemessen: die grösste Höhendifferenz beträgt lediglich 2,1 cm oder 21 mm, die Abweichung der südlichen Basis von den idealen 440 Ellen nur 1,2 cm oder 12 mm, jene der nördlichen Basis 3,2 cm oder 32 mm. Wie war eine solche Genauigkeit zu erreichen, erst noch unter Umgehung des Felshügels in der Mitte der Pyramidenbasis, welcher das Ausmessen der Diagonalen verhinderte? Meiner Meinung nach kommt nur eine Methode in Frage. Man ebne das Gelände um den Felshügel und lege ein provisorisches Gitter aus, Abstand der Gitterpunkte 9 Ellen (471.24 cm) resp. 20 Stäbe (666.4 cm). Man stelle auf jeden erreichbaren Gitterpunkt einen Block aus Kalkstein und befestige auf jedem Block ein Stück Holz. Danach vermesse man die Höhen der Blöcke mithilfe einer grossen Setzwaage und schleife alle Holzstücke auf dieselbe Höhe ab. Man prüfe die Höhen, indem man die Waage umdrehe. Anschliessend fertige man ein ebenso leichtes wie stabiles Holzkreuz an und versehe es mit vier Nägeln a b c d:

a d

d + b c + a

c a

Abstände ab = bc = cd = da = 20 Stäbe (666,4 cm)

Abstände ab = cd = 9 Ellen (471,42 cm)

Man lege das Holzkreuz auf vier Blöcke und markiere diese mit den Nägeln. Dann drehe man das Kreuz und prüfe die Marken. Passen die Nägel des gedrehten Kreuzes hinein, so gelten die Marken; andernfalls prüfe man die Position der Nägel an einem in Stein geritzen Referenzkreuz. Die Basis der Cheops-Pyramide mass 440 Ellen, das erforderliche Gitter zählte 50 mal 50 Quadrate mit einer gesamten Fläche von 450 mal 450 Ellen.

Aufgabe Die einstige Basis der Cheops-Pyramide mass 440 Ellen, ihre Höhe 280 Ellen. Diese Höhe entspräche 440 Stäben. Ein Modell dieser Pyramide kann man so bemessen: Basis 1 Elle, Höhe 1 Stab. Zeichne den Querschnitt (Basis 52,36 cm, Höhe 33,32 cm) und berechne seine Fläche mit Stab und Elle Die Höhe sei der Durchmesser eines Kreises. Zeichne den Kreis und berechne seine Fläche mit Stab und Elle ♣

Ideen 1 / Ideen 3

homepage