Neue Wege zur elementaren Mathematik / Franz Gnaedinger 2010 © Soziale Dienste Zürich

 

Neue Wege zur elementaren Mathematik

 

hervorgegangen aus meinen mathematik-geschichtlichen Arbeiten, sowie aus Nachhilfeunterricht im Rahmen von privater und offizieller Freiwilligentätigkeit, geschrieben für die Sozialen Dienste der Stadt Zürich, denen auch das Copyright gehört

 

Erster Teil, Kulturgeschichtliche Ausblicke

 

Provisorische elektronische Version als online Test, Reaktionen von Lehrerinnen und Lehrern sind willkommen, bitte an fgn@bluemail.ch

 

Franz Gnaedinger, Zürich 2009-10

 

Inhaltsverzeichnis  

 

Bitte picken Sie heraus was Sie interessieren könnte, es hat ganz Einfaches und recht Anspruchsvolles dabei. Folgen Sie wenn möglich den Ausführungen mit Papier, Bleistift, Taschenrechner und Zeichengerät. Ein wirklich verstandenes einfaches Kapitel ist mehr wert als fünf nur überflogene anspruchsvolle Kapitel.

 

Mathe ohne Mathe

 

Der allereinfachste Computer

 

Ein 35'000 Jahre alter afrikanischer Mond- und Sonnenkalender

 

Sonnenpferd und Mondstier (der lunisolare Kalender von Lascaux)

 

Woher kommt das Zifferblatt? (Göbekli Tepe)

 

Kalender von Beersheba

 

Die Augen des Horus-Falken

 

Zwei altindische Kalender

 

Minoische Kalender und Symbole

 

Die Vogelgöttin vom Balkan

 

Der grosse Rabe von Yverdon-Clendy

 

Falera und Stonehenge

 

Was ist Zeit?

 

Ägypten und Mesopotamien

 

Die Sonnenkammer (Pyramiden)

 

Kombinierte Masse

 

Unser Meter

 

Der weise Salomon und Bilqis, Königin von Saba

 

Was ist Mathematik? (Logik des Bauens und Erhaltens)

 

Alles ist gleich, alles ungleich …  Goethe

 

Symmetrie

 

Geometrie in der Kunst

 

abc  (in Vorbereitung)

 

 

Zweiter Teil: Aufgaben  (in Vorbereitung)

 

 

Vorwort

 

Im August 2006 erlitt ich eine Streifung, einen milderen Schlaganfall oder eine Hinrblutung. Meine geistigen Fähigkeiten nahmen glücklicherweise keinen Schaden, ich kann mich sogar noch besser konzentrieren als vorher, aber bin unsicher in Menschenmengen und es geschah dass ich einfach in die Strasse lief als ich eine gute Idee hatte ohne auf den Verkehr zu achten. Meinen früheren Jobs kommen nicht mehr in Frage. Mit meinen wissenschaftlichen Arbeiten habe ich keine Chance. Im Herbst 2007 sprach mein Arzt vom Sozialamt. Ich konnte den für mich sehr schweren Gang noch ein halbes Jahr hinausschieben, aber im Frühling 2008 war es so weit. Es ist mir gut ergangen, ich traf lauter engagierte und motivierte Leute. Meine Gegenleistung für die Sozialhilfe besteht in Freiwilligenarbeit, welche ich schon bisher erbrachte, überwiegend Nachhilfe in Mathematik. Mein Unterricht ist erfolgeich, wie ich selber sagen darf. Im vorliegenden Buch möchte ich meine Erfahrungen und Methoden weitergeben. Ich danke Herrn Robert Habermacher – für mich zuständig, ich erlebe ihn als kompetent, effizient und menschlich – für die Bewilligung meines Projektes. Die Rechte an dem Buch gehen an die Sozialen Dienste Zürich.

 

In der Basisbeschäftigung – am Feierabend sowie am Wochenende – schrieb ich zwei lange offene Briefe an Frau Monika Stocker, damals die Chefin des Sozialdepartementes der Stadt Zürich, und zwar wegen der Sozialfirmen, meiner Meinung nach eine sehr gute Einrichtung, welche aber die Kritik des Gewerbes auf sich zog. Ich machte den Vorschlag, dass die Sozialfirmen ihre Kapazitäten und teils hervorragende Infrastruktur für innovative Projekte einsetzen sollen, die sonst keinerlei Gehör finden und von keiner hiesigen Institution gefördert werden, und zwar nach dem Alumni-Prinzip: sollte ein geförderter junger Unternehmer mit einer innovativen Idee später einmal Erfolg haben, so mag er sich mit Spenden bedanken.

 

Sigmund Widmer, vormaliger Stadtpräsident von Zürich, danach im Nationalrat, schrieb in den früheren 1980er-Jahren in seiner Kolumne im Züri-Leu zu einem Jahreswechsel: Die Schweiz kann nur überleben, wenn aus dem Werkplatz Schweiz ein Denkplatz wird. Er war ein Mann von körperlichem und geistigem Format. Sein Wort gewinnt für mich immer mehr Bedeutung, je länger die Krise der Schweiz dauert und je tiefer sie greift.

 

Ich bin mehr denn je davon überzeugt, dass wir die anstehenden globalen Probleme nur lösen können, wenn wir gute Menschen in aller Welt für uns gewinnen, und eine Vorbedingung dafür ist meiner Meinung nach eine faire Kulturgeschichte, welche alle Beiträge anerkennt und würdigt. Solange unsere Kinder in den Schulbüchern lesen, dass wir die Zivilisation einschliesslich der Mathematik, der Logik des Bauens und Erhaltens, erfunden hätten, werden sie künftig die Menschen, die von aussen kommen, als Bettler ansehen, und die Völker, die sich von uns ausgeschlossen sehen, werden sich abwenden und sagen, wir sollen unsere Zivilisation für uns allein behalten. Ich möchte das ändern und eine globale Schulstunde bieten, wenn ich so sagen darf, mathematische Perlen aus unterschiedlichen Kulturen auslegen, einschliesslicher einer systematischen Kreisberechnung aus dem alten Ägypten. Mein Buch ist geschrieben für Lehrer und Lehrerinnen, aber auch für Schüler wie ich einer war (ich verschlang Bücher die ich kaum verstand aber die mir doch viel mit auf den Weg gaben).

 

Meine besondere Fähigkeit besteht im raschen Erfassen einer Situation oder eines Problems. Ich nehme gleichsam einen Wachsabdruck, den ich dann vor meinem geistigen Auge drehen und wenden und vermessen kann, bis ich den entscheidenden Punkt ausfindig mache. Dies hilft mir sehr in meinem Unterricht, ich sehe leicht wo ein Schüler oder eine Schülerin ansteht ,und dann versuchen wir gemeinsam, das Problem von einer anderen Seite her anzugehen. Das hilft. Nun möchte ich dieselbe Fähigkeit auch den interessierten Lesern und Leserinnen meines Buches vermitteln, indem ich Mathematik vielseitig angehe, und amliebsten so, dass es gar nicht nach Mathematik aussieht – Mathe ohne Mathe wie ich meine Strategie nenne, und vor allem ohne Formalismen, die viele verwirren, manchmal auch mich selber. Ich wähle einen direkten Zugang zu jeder Frage, mit vielen Verweisen auf die Kulturgeschichte zahlreicher Völker, zum Beispiel auch einer neuen Interpretation des Märchens von Schneewittchen und den sieben Zwergen, das meiner Meinung nach auf der historischen Ebene die Geschichte vom Uebergang vom einstigen Chalkolithikum zum Bronzezeitalter erzählt und ähnliche Symbole verwendet wie die Homer – sowohl Schneewittchen als auch die schöne Helena symbolisieren das damals kostbare Metall Zinn … Ich hoffe Sie finden in meinem Buch ein paar weitere Überraschungen, die ihnen die Mathematik leichter machen und Sie von der bisweilen öden Rechnerei ablenken. Dazu möchte ich sagen, dass ich immer gut im Rechnen war, aber viele meiner Kameraden leiden sah. Ihnen allen sei mein Buch gewidmet, und natürlich ebenso meinen Nachhilfeschülern und –schülerinnen, die wesentlich zum vorliegenden Buch beigetragen haben, vor allem zu der Art wie ich meinen Stoff präsentiere.

 

Zürich, im Januar 2010

 

Nachtrag vom März. Mein Buch ist schon vor allem für Lehrer und Lehrerinnen gedacht, die ein Kapitel auswählen, für die Schule aufbereiten und mit eigenem Bildmaterial anreichern – die hier gezeigten Illustrationen dienen wissenschaftlichen Zwecken und sind für den Unterricht wenig geeignet, oder nur eingebettet in weiteres Bildmaterial.

 

 

Mathe ohne Mathe

 

Einer Schülerin sagte ich: Wir machen Mathematik ohne Mathematik … Nach einem Jahr hat sie als einzige ihrer Klasse die Schule bestanden. Das Rechnen wurde ihr erlassen, doch sie hat ein elementares Verständnis erworben, das ihr in den anderen Fächern half. Sie machte gern und fleissig mit und dankte mir für meine Stunden. Ich dankte ihr für ihre wertvolle Hilfe beim Entwickeln meiner alternativen Methoden.

 

In die erste Stunde brachte ich Mineralien mit. Wir besprachen die Steinchen, ihre Formen und Farben. Dann gab ich ihr neun farbige Steinplättchen und bat sie, Muster auszulegen. Sie ordnete sie zu einer anmutigen Wellenlinie an, die sie nach und nach bewegte. Dann bat ich sie, geometrische Muster zu formen, immer mit denselben neun Steinen, so viele wie ihr einfielen, und sie zu benennen. Das nahm eine ganze Stunde in Anspruch, denn wenn man einmal mit dem Spiel begonnen hat, gibt es verblüffend viele Formen allein mit neun Spielsteinen. Ich machte dieselbe Übung auch mit einem Schüler und einer anderen Schülerin und bat sie, die geometrischen Formen auf einen grossen Bogen Papier zu zeichnen, und gross anzuschreiben. Ich beharre immer auf grossen Papieren und grossen Zeichnungen und grosser Schrift, eher gemalten Buchstaben, denn Hand und Arm und Körper lernen mit. Zum Üben gross zeichen und schreiben, dann geht es später auch klein. Mit einer Schulklasse könnte man die geometrischen Formen aus neun Elementen auch im Freien ausführen oder vielmehr aufführen, wobei neun Schüler und Schülerinnen die Formen darstellen können, Linie, Winkel, Kreis, und so weiter, während andere dieselben Formen mit Kieseln auslegen, auf Papier zeichnen, benennen und beschriften. Das wäre ein anderer Einstieg in die Geometrie als in der Primarschule meiner Zeit, in den 1950er-Jahren. Mein Lehrer begann mit den Axiomen Euklids. Ich empörte mich über das Parallelen-Axiom. Wer kann wissen, wie sich die Parallelen in unendlicher Entfernung verhalten, immer denselben Abstand wahren, oder zusammenlaufen, oder vielleicht auseinander streben? Jahre später habe ich dann erfahren, dass das Parallelen-Axiom auch für die Geometer ein Problem darstellt. Es lässt sich nicht aus den übrigen Axiomen Euklid’s herleiten, und es gibt auch andere Geometrien als die Euklidsche, in welchen die Parallelen zusammenlaufen, sich schneiden, oder auseinander streben. Zudem lehrten mich meine eigenen mathematikhistorischen Forschungen und Experimente (im Sinne einer experimentalen Geschichte der führen Geometrie und Algebra, in Analogie zur mittlerweile anerkannten experimentellen Archäologie), dass Euklid nicht etwa den Beginn der Geometrie markiert, sondern die Krönung vieler Jahrtausende früher Geometrie darstellt, zudem weiss man schon seit geraumer Zeit, dass die Elemente Euklids nicht die ersten waren, es gab vor ihm mindestens zwei ähnliche Werke. Wer kann sagen wie viele Papyri and Bibloi mit der Bibliothek von Alexandria in Flammmen aufgingen?

 

Das Lösen von Problemen ist meiner Meinung nach eine Frage übereinstimmender Muster von Komplexität. Wenn man eine Idee von der spezifischen Komplexitat eines Problemes gewinnt, so kann man nach einem analogen Muster unter den potentiellen Lösungen Ausschau halten. Ich arbeite auf diese Weise, lasse mich erst von etwas beeindrucken, ohne es zu verstehen, aber dann, über kurz oder lang oder sehr lang finde ich eine Lösung von analoger Komplexität. In der Primarschule erfasste ich sogleich die Komplexität einer mathematischen Aufgabe, schaute mich um in der Menge potentieller Lösungen, und weil die Schulbücher und meist auf einfache Lösungen hinlaufen, gab es vielleicht zwei Resultate, die als Lösung meiner Aufgabe in Frage kamen, ich brauchte sie nur noch zu checken. So habe ich viele Aufgaben sehr rasch gelöst, ohne zu rechnen. Diese Fähigkeit kann man trainieren, indem man sich nicht auf eine einzige Lösung oder Betrachtung oder Darstellung festlegt, sondern den Geist beweglich hält. Die Euklidschen Axiome als Einstieg in die Geometrie sind eine solche vorzeitige Festlegung welche den beweglichen Geist junger Menschen viel zu sehr einengt. Meine Übungen sind auf Vielfalt möglicher Lösungswege angelegt. Ich trainiere anschauliches Denken, ermuntere meine Schüler und Schülerinnen eine Aufgabe zu zeichnen, immer möglichst gross, weil eben der Körper mitlernt, mit seinem eigenen Gedächtnis beim Lernen und Denken hilft. Auch lasse ich manchmal ein Problem offen und zeige nicht gleich den Lösungsweg auf, damit ein Schüler oder eine Schülerin für eine Weile ‚schwimmt’, verschiedene Denkwege einschlägt und so eine Ahnung von der Komplexität eines Problems bekommt, eine Ahnung von der Aura der Komplexität einer Aufgabe, wie ich auch gerne sage.

 

Wieder zu meiner obigen Schülerin. Wir haben einfache Rechnungen wenn möglich als kleine Theater aufgeführt. Ihr Zuhause befand sich an einem Ende des langen ovalen Tisches, mein Laden am anderen Ende, und auf halbem Weg eine Bank. Ein nacherfundenes Beispiel. Sie wollte sich ein Kleid kaufen und tat 200 Franken in ihr Portemonnaie, das heisst 20 Steinplättchen, welche je 10 Franken symbolisierten, in eine Büchse. Dann machte sie sich auf den Weg vom einen zum anderen Ende des langen Tisches, und erzählte von der Reise, welche Trams sie nahm, wo sie vorbeikam, was ihr gerade einfiel. Beim Laden angekommen, fand sie ein hübsches Kleid für 150 Franken. Sie zählte 15 Steinplättchen aus und machte sich auf den Heimweg, doch beim Verlassen des Ladens erblickte sie noch ein anderes Kleid für 100 Franken, das ihr auch gefiel. Aber reicht ihr Herausgeld dafür? Nein es ist zu wenig, nur 50 statt hundert Franken. Als eilfertiger Verkäufer sagte ich ihr, dass ich ihr das zweite Kleid gerne mitgebe und ihr dafür einen Schuldschein von 50 Franken ausstelle, mathematisch ein negativer Betrag, sie könne mir das Geld ein andermal mitbringen, es gäbe aber auch noch die Möglichkeit, den nahen Bankschalter aufzusuchen, ich würde das zweite Kleid dann für sie reservieren, bis sie zurück sei …. Auf diese Weise machten das Rechnen und der Umgang mit negativen Zahlen keine Probleme. Überhaupt besteht die Kunst beim Rechnen darin, ein Problem auf solche Weise darzustellen, dass wir gar nicht wirklich zu rechnen haben sondern die Aufgabe irgendeiner tieferen Schicht des Gehirns überlassen können, das die Aufgabe gern und alleine löst, wenn ich so sagen darf. Auch hier wieder: geistige Wendigkeit und Beweglichkeit sind gefragt.

 

In den nächsten Lektionen liess ich meine Schülerin den „Computer“ des nächsten Kapitels auf einen grossen Bogen Papier im Format eines Plakates zeichnen. Sie erwies sich als sehr flink im Umgang mit diesem einfachen Spiel, das gleichzeitig alle wesentlichen Elemente des mathematischen Denkens erlebbar macht und deshalb für den elementarsten Unterricht sehr geeignet ist (wie gesagt im nächsten Kapitel).

 

Andere Aufgaben bestanden im Schätzen. Wieviele Blätter hat ein Busch oder Baum vor dem Fesnter? Wieviele Häuser stehen in der Stadt Zürich? Im Fall des Busches oder Baumes zählt man die Blätter an einem Zweig, dann die Zweige an einem Ast, und so weiter. Diese Art von Schätzen braucht einige Zeit, ist aber eine wertvolle Übung, denn Rechnen besteht aus zwei Komponenten, genauem Rechnen und Schätzen, das erste geschieht neben dem für die Sprache zuständigen Broca-Areal in der linken Hirnhemisphäre, das zweite neben dem visuellen Areal im Hinterkopf. Beim Zeichnen kann man feine Details notieren aber auch  grossflächige Schraffuren anlegen. Es macht keinen Sinn, alles fotographisch exakt im Detail festzuhalten; viel befriedigender sind Schraffuren, welche das Ganze wiedergeben, und dann feine Einzelheiten, wie zum Beispiel die Augen bei einem Portrait, oder das Gesicht einer menschlichen Figur. So auch beim Rechnen. Die Schätzung erfasst das grosse Ganze, das genaue Rechnen wichtige Einzelheiten. Kürzlich hat man herausgefunden, dass letzteres eine bestimmte Gruppe von Neuronen erfordert; wenn sie fehlen, was selten aber doch manchmal vorkommt, so ist genaues Rechnen unmöglich, aber es bleibt immer noch das Schätzen. Auch grosse Wissenschafter wie Einstein bekannten dass sie eher zum Schätzen neigen, das sind dann eher intuitive Menschen. Einstein sagte übrigens etwas sehr Schönes, was ich hier aus dem Gedächtnis wiedergebe: Imagination ist wichtiger als Wissen, denn das Wissen beschränkz sich auf die bekannte Welt, während die Imagination den gesamten Komos unmfasst …

 

Die Schülerin, von der ich hier spreche, liebt indischen Schmuck, also bat ich sie, ihre kleine Kollektion mitzubringen. Wir schauten sie zusammen an. Dann bat ich sie, einige ihrer Kleinode zu zeichnen, aber gross, wieder auf Bogen im Format von Plakaten, die ganzen Schmuckstücke und dann die einzelnen darin vorkommenden geometrischen Formen. Auch diese Aufgabe machte ihr Spass, sie enteckte Mathematik in etwas ihr Liebem, und war erfreut zu sehen wie die geometrischen Formen in den kunstvollen kleinen Objekten zusammengehen, einander abwechseln, stützen und ergänzen.

 

Dann haben wir auch Bilder interpretiert, anhand der künstlerischen Symmetrie, welche später im Kapitel Symmetrie dargestellt werden soll, und eine Interpretation im Kapitel Geometrie in der Kunst (kein geringeres Bild als Das letzte Abendmahl von Leonardo da Vinci, in welchem das Prinzip der künstlerischen Symmetrie besonders schön und greifbar zur Anschauung kommt).

 

Meine Schülerin hatte Schwierigkeiten, sich das kleine Ein-mal-Eins zu merken, also schlug ich ihr vor, es in den Sommerferien zu singen, jede Zahlenreihe nach einer anderen Melodie welche sie selbst erfinden mag.

 

Manche Schüler haben anfängliche Schwierigkeiten mit dem Konzept von Gleichungen. In solchen Fällen verweise ich gern auf die Sprache und sage, dass jeder Satz eine Gleichung sei, oder gar ein Konglomerat von Gleichungen:

 

   Der Ball rollt über den Boden

 

   der Ball – ist – ein Rollender, etwas Rollendes, etwas über den Boden Rollendes

 

Wir sehen zum einen den Ball, zum anderen eine Bewegung, eine rollende Bewegung über den Boden, wir identifizieren das sich Bewegende mit einem Ball und seine Bewegung als Rollen, welches am Boden stattfindet, von einer zur anderen Stelle des Bodens. Die Bewegung und der rollende Ball gehören zusammen, sind dasselbe, ein über den Boden rollender Ball, das über den Boden Rollen des Balls, also fügen wir beides in der Gleichung eines Satzes ineinander über … Man kann jeden Satz in eine oder mehrere solche Gleichungen zerlegen. Beispiele sollen im zweiten Teil des Buches folgen, bei den Aufgaben. Diese Form von Mathe ohne Mathe eignet sich für Gymnasiasten, die mit sprachlichen Partitionen vertraut sind.

 

 

Der allereinfachste Computer

 

paleo1.GIF  comp1.GIF  comp2.GIF  comp3.GIF  comp4.GIF  comp5.GIF  comp6.GIF  comp7.GIF

 

In den Höhlen der Ile-de-France (Paris und Umgebung) finden sich zahlreiche in den Stein geritzte geometrische Muster paleo1.GIF mit symbolischer Bedeutung, insbesondere auch Qudratgitter, zum Beispiel das Gitter aus 3 mal 3 Häuschen. Im Herbst 1993 experimentierte ich mit solchen Mustern. Kann man damit vielleicht ein mathematisches Spielzeug herstellen? Das Ergebnis war ein Brettspiel, der allereinfachste Computer, 3 mal 3 Quadrate, versehen mit den Zahlen 1 bis 9, plus vier Quadrate ringsum, zwei davon beschrieben mit einer Null, die anderen zwei mit einem X, der römischen Zehn, etwa so:

 

  

        0

  0 1 2 3

    4 5 6

    7 8 9 X

    X

 

Die neun Quadrate mit den Zahlen 1 bis 9 gelten als Spielfeld. Man lege Kieselsteinchen auf die Zahlen (ich verwendete kleine Ovale aus indischem Zirkulith wegen der schönen Farben und Muster, auch sind sie Handschmeichler) und versuche möglichst alle aus dem Feld der neun Quadrate zu bewegen, entweder auf die Felder 0 oder X, und zwar so: jede Bewegung eines Steinchens erfordert eine Gegenbewegung. Angenommen ich will 4 und 3 addieren. Also lege ich ein Steinchen auf die 3, und eines auf die 4. Ich schiebe das Steinchen auf dem Feld 3 nach oben auf das Feld 0. Dafür muss ich eine Gegenbewegung ausführen, nämlich das Steinchen auf dem Feld 4 um ein Häuschen nach unten schieben, auf das Feld 7. Das Resultat ist 0 und 7, also 7. Man kann das Spielbrett sehr einfach auf einen grösseren Bogen Papier zeichnen, oder mit Kreide auf den Boden, und die Rechnungen mit kleinen Kieselsteinen oder Münzen oder Holzklötzchen ausführen. Die folgenden Graphiken zeigen die Lösung einfacher Aufgaben, ausgeführt in Doppelschritten (Bewegung plus Gegenbewegung):

 

  comp1.GIF     5 plus 6

 

  comp2.GIF     1 plus 4 plus 5 plus 8

 

  comp3.GIF     1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

 

  comp4.GIF     2 plus 3 minus 4 plus 5 plus 6

 

  comp5.GIF     5 mal 5

 

  comp6.GIF     3 plus 6 gleich 9, oder 10 Franken und 1 Franken Schulden

 

  comp7.GIF     neun leere Spielfelder als Muster („Computerplatine“)

 

Eine Nachhilfeschülerin mit schwerer Dyskalkulie (Was gibt 12 minus 1? Zwölf --- minus --- Eins --- gibt ------ Eins?) aber dafür einer wunderbaren Singstimme, musikalischem Talent und schönem Eifer erwies sich als äusserst begabt im Umgang mit diesem Computer, sie löste die anspruchsvolle Aufgabe 1x1 plus 2x2 plus 3x3 plus 4x4 plus 5x5 plus 6x6 plus 7x7 plus 8x8 plus 9x9 im Handumdrehen. Mit ihr zeichnete ich ein sehr grosses Feld, im Format eines Plakates, so dass das Auslegen und Bewegen der Steinchen körperlichen Einsatz erforderte. Bewegung des ganzen Körpers ist immer hilfreich. Einmal gab ich einem sizilianischen Mädchen auf dem Land Unterricht im Schreiben von Buchstaben und Zahlen. Sie hatte viel Mühe damit, vor allem wenn sie kleine Kringel auf’s Papier kritzelte, so gab ich ihr eine Kreide, wir gingen hinaus, zum Stall mit einer schwarz gedunkelten Holzwand, wo sie die Buchstaben und Zahlen mit grossen Schwüngen beinahe in ihrer eigenen Körpergrösse auf die Scheune zeichnen konnte. Das half, die grossen Bewegungen haben sich ihr eingeprägt und waren danach auch als kleine Bewegungen der Finger abrufbar.

 

Der obige Computer ist sehr einfach, einfacher geht es nicht mehr, aber doch nicht ohne, immerhin wurde ich damit zu einer mathematischen Konferenz über Brettspiele nach Brasilien eingeladen (konnte dann aber aus finanziellen Gründen nicht hingehen). Das Spiel veranschaulicht alle elementaren mathematischen Prinzipien. Wenn ein Schreiner einen Tisch anfertigt, so nimmt er Holz und bearbeitet es so lange, bis die einzelnen Stücke die richtige Form habe und sich zu einem Tisch verleimen lassen. Ganz ähnlich beim Rechnen. Rechnen ist im Prinzip ein Umformen, solange bis wir ein handliches Ergebnis haben. Wieviel Geld hast Du bei Dir? Zwei Franken plus fünf Franken plus zweimal ein Franken plus eine Zehnernote plus fünfzig Rappen und noch ein Zehner – das ist eine unhandliche Form, also zählen wir das Geld zusammen und erhalten 17 Franken 60 Rappen. Das ist nicht mehr und nicht weniger als die Münzen und die Note zusammen, es ist genau derselbe Wert aber in handlicher Form. Darum geht es beim Rechnen: umformen bis wir einen handlichen Wert haben. Der obige Computer macht solche Umformungen anschaulich. Beispiel einer graphischen Umformung: die Zahl 25 als gerades und schräges Kreuz:

 

            2              1        3

       4   5   6              5

            8              7        9

 

Wie funktioniert der Computer? Wenn man ein Steinchen um ein Feld nach rechts bewegt, nimmt die Zahl um Eins zu, und wenn man als Gegenbewegung ein anderes Steinchen um ein Feld nach links bewegt, so nimmt sein Wert um Eins ab, die Summe bleibt gleich. Wenn man ein Steinchen nach oben bewegt so nimmt sein Wert um Drei ab, und wenn man als Gegenbewegung ein anderes Steinchen um ein Feld nach unten bewegt so vermehr sich sein Wert um Drei, die Summe bleibt auch in diesem Fall erhalten. Ebenso bei diagonalen Bewegungen, hier betragen Zunahme und Abnahme je Zwei. Man kann auch mehrere Steinchen gleichzeitig bewegen, zwei Felder auf’s Mal nehmen, und das Spielfeld über die neun Häuschen hinaus erweitern, was dann zu grösseren Zahlen als Neun führt, aber auch zu negativen Zahlen wie im Fall der Addition von 3 und 6 zu 9 Franken beziehungsweise einer Zehnernote und einer Schuld von einem Franken. Das Aufregende an der Mathematik ist ja, dass es keine wirklichen Grenzen gibt. Wenn man einen mathematischen Sachverhalt klar, einfach und anschaulich formuliert hat, kann man ihn über die Grenzen des Bekannten hinaus erweitern. Dies geschah unzählige Male im Lauf der Mathematikgeschichte, etwa als man von einer klaren Definition der natürlichen Zahlen zu den negativen Zahlen gelangte, oder von einer genauen Definition der Wurzeln zu den sogenannt imaginären und komplexen Zahlen. Im Übrigen hängt in der Mathematik alles zusammen. Man gerät rasch vom Einfachen zum Allerschwierigsten. Etwa im Beispiel der Addition 1x1 plus 2x2 plus 3x3 plus 4x4 plus 5x5 plus 6x6 plus 7x7 plus 8x8 plus 9x9, welche von der Nachhilfeschülerin mit ihrer schweren Dyskalkulie so flink gelöst wurde – wenn man die Quadrate umkehrt und die Reihe ins Unendliche verlängert so gelangt man zu einer berühmten Einsicht von Leonhard Euler (mehr am Ende des Kapitels Ägypten und Mesopotamien) welche ihn zu seiner Zeta-Funktion führte, und diese Funktion im komplexen Raum spielt die entscheidende Rolle bei einem der schwierigsten und aufregendsten Problem der gegenwärtigen Mathematik, der Riemann-Vermutung, bei der es um die Verteilung der Primzahlen geht, nämlich um die Frage, ob die Folge 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 … ein Muster aufweist?

 

 

Ein 35'000 Jahre alter afrikanischer Mond und Sonnenkalender

 

In der Höhle von Lebombo, Zentralafrikanische Republik, fand sich ein uralter Pavian-Femur,

das ist der Oberschenkelknochen eines Pavians, rund 35'000 Jahre alt, mit von Menschen angebrachten Zeichen, nämlich 29 geritzten Linien, etwa so:

 

    I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

 

Die Zahl 29 erinnert an den Mond, von Leermond zu Leermond sind es etwas mehr als 29 Tage, genau 29 Tage 12 Stunden 44 Minuten 2,9 Sekunden (mittlerer Wert von 1989). Diese Dauer nennt man eine Lunation oder einen synodischen Monat oder ein Mondjahr. Am besten zählt man Lunationen auf diese Weise: 30 29 30 29 30 29 30 29 30 29 30 … Tage für 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … Lunationen. Und das kann man ohne Zahlen mithilfe des obigen Femurs aus der Höhle von Lebombo tun. Man lege ebenso viele Kieselsteinchen aus wie es Linien auf dem Knochen hat und erhält so eine kurze Periode von 29 Tagen oder Nächten. Dann legt man eine Linie von synkopischen Steinchen aus und erhält eine lange Periode von 30 Tagen:

 

 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

 O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

 

 

Elf Lunationen ergeben das folgende Muster:

 

 

  O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

   O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

  O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

   O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

  O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

   O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

  O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

   O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

  O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

   O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

  O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

 

 

Dieser Algorithmus (ein arabisches Wort das eine Rechenvorschrift bezeichnet) liefert erstaunlich gute Werte, wie aus der nachfolgenden Tabelle hervorgeht, zuerst die Werte des uralten Algorithmus, dann die genauen modernen Werte, für insgesamt 17 Lunationen oder synodische Monate oder Mondjahre:

 

     1 L   30  --   29,530… oder rund  30 Tage

     2 L   59  --   59,061… oder rund  59 Tage

     3 L   89  --   88,591… oder rund  89 Tage

     4 L  118  --  118,122… oder rund 118 Tage

     5 L  148  --  147,652… oder rund 148 Tage

     6 L  177  --  177,183… oder rund 177 Tage

     7 L  207  --  206,714… oder rund 207 Tage

     8 L  236  --  236,244… oder rund 236 Tage

     9 L  266  --  265,775… oder rund 266 Tage

    10 L  295  --  295,305… oder rund 295 Tage

    12 L  325  --  324,836… oder rund 325 Tage

    13 L  354  --  354,367… oder rund 354 Tage

    14 L  384  --  383,897… oder rund 384 Tage

    15 L  413  --  413,428… oder rund 413 Tage

    16 L  443  --  442,958… oder rund 443 Tage

    17 L  472  --  472,489… oder rund 472 Tage

    18 L  502  --  502,020… oder rund 502 Tage

 

Vor 75'000 Jahren gab es in Südafrika eine hochentwickelte Zivilisation. In der Blombos-Höhle fanden sich die ersten bis heute bekannten geometrischen Objekte, Ockerstäbchen in Form von Prismen, verziert mit Rechtecken und einem Rhombenmuster, dazu perforierte Schneckenhäuschen die offenbar auf Schnüre aufgezogen waren, während die Leute vom Pinnacle Point einen Leim aus zwei Komponenten verwendeten, um Steinklingen an Holzgriffe zu kleben. Ich stelle mir vor: Schamanen und Schamaninnen im alten Afrika beobachteten den Himmel und zählten Monde (Lunationen, synodische Monde, Mondjahre) indem sie Schneckenhäuschen auf Schnüre aufzogen, Kerben in ein Stück Holz ritzten, Kieselsteinchen auslegten, und so weiter. Irgendwann entdeckten sie den obigen Algorithmus zum Zählen von Lunationen, beziehungsweise Umrechnen von Monden in Tage, und das ging alles ohne Zahlen. Die einfachste Weise, um einen solchen Kalender festzuhalten, war eine Reihe von Kerben auf einem Stück Holz, oder, haltbarer, auf einem Knochen. Jeder Stamm konnte diese Kerben kopieren, und mit der obigen Anleitung einen eigenen Mondkalender herstellen, wieder ganz ohne Zahlen. Und wenn man den Mondkalender beherrschte, konnte man zum Sonnenkalender übergehen, indem man Steinchen nach dem folgenden Muster auslegte:

 

 

  O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

-- O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O --

   O O O O O O O O O O O O O O   O O O O O O O O O O O O O O

   O O O O O O O O O O O O O O   O O O O O O O O O O O O O O

   O O O O O O O O O O O O O O   O O O O O O O O O O O O O O

   O O O O O O O O O O O O O O   O O O O O O O O O O O O O O

   O O O O O O O O O O O O O O   O O O O O O O O O O O O O O

   O O O O O O O O O O O O O O   O O O O O O O O O O O O O O

   O O O O O O O O O O O O O O   O O O O O O O O O O O O O O

   O O O O O O O O O O O O O O   O O O O O O O O O O O O O O

   O O O O O O O O O O O O O O   O O O O O O O O O O O O O O

   O O O O O O O O O O O O O O   O O O O O O O O O O O O O O

   O O O O O O O O O O O O O O   O O O O O O O O O O O O O O

   O O O O O O O O O O O O O O   O O O O O O O O O O O O O O

   O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

 

 

Die zweitoberste Linie ist markiert mit kurzen waagrechten Strichen am Anfang und Ende, sie enthält gleich viele Steinchen wie der Knochen Kerben. Die Linie darüber ist synkopisch ausgelegt, sie enthält ein Steinchen mehr. Die oberste und zweitoberste Linie bilden zusammen die längere und kürzere Periode des Mondkalenders. Für den Sonnenkalender verwende man die zweitoberste Linie (markiert mit den kurzen waagrechten Strichen am Anfang und Ende). Man bestimme das mittlere Steinchen dieser Linie. Dann hat man links und rechts vom mittleren Steinchen dieselbe Anzahl Steinchen, zwei Linien gleicher Länge. Man ergänze diese beiden Linien zu Quadraten, indem man weitere Linien anlegt, parallel, eine um die andere, jeweils unter die vorhergehende. Wenn man die unterste Zeile erreicht hat, verbinde man die beiden letzten Linien mit einem Mittelsteinchen. Die beiden obersten Zeilen des resultierenden Musters bilden die lange und kurze Periode des lunaren Kalenders, während alle Steinchen darunter ein Sonnenjahr abbilden, wieder ganz ohne Zahlen!

 

Sie können den Kalender gerne prüfen. Die oberste Zeile enthält 30 Steinchen, die zweitoberste, mit kurzen waagrechten Strichen markierte Zeile enthält 29 Steinchen, das mittlere Steinchen entfernt bleiben 14 plus 14 Steinchen, zu Quadraten ergänzt erhalten wir 14x14 plus 14x14 oder 196 und 196 Steinchen, aber weil die obersten Zeilen der Quadrate zum Mondkalender gehören bleiben für das Sonnenjahr lediglich 13x14 plus 13x14 oder 182 und 182 Steinchen, das ergibt zusammen mit dem hinzugefügten mittleren Steinchen der untersten Zeile 182 + 1 + 182 = 365 Steinchen, die Tage eines regulären Sonnenjahres. Der Femur von Lebombo, 35'000 Jahre alt, würde also einen kombinierten Mond- und Sonnenkalender, einen sogenannten lunisolaren Kalender darstellen, der ganz ohne Zahlen auskommt, lediglich eine graphische Umsetzung anhand einer relativ einfachen Anweisung erfordert.

 

 

Sonnenpferd und Mondstier  (der lunisolare Kalender von Lascaux)

 

Die Höhle von Lascaux wurde vor 18,000 Jahren ausgemalt. Marie E.P. König interpretierte die Pferde als Sonnenpferde, die Stiere als Mondstiere, die herabsteigende Folge von Pferden in einer Nische am Ende der axialen Galerie als Wintersonne, immer näher am Horizont, und die beiden einander gegenüberstehenden Steinböcke als Symbol der Wintersonnwende, 21. Dezember in unserem Kalender. Wenn man ihre Interpretation weiterführt, so bilden die grosse Rotunde, die axiale Galerie und die Nische am Endes des Galerie ein Sonnenjahr ab, die Nische wie gesagt die Wintersonnwende mit dem absteigenden Wintersonnenpferd, die hübschen „chinesischen Pferde“ in der Galerie den Frühling, und der grosse runde Saal die Sommersonnwende, das rote Pferd, eine Stute, die aufgehende Sonne am frühen Morgen des 21. Juni gemäss unserem Kalender, und der stolze weisse Stier an ihrer Seite einen Vollmond, der hier mit dem astronomischen Sommerbeginn zusammenfällt, und eine solche Koinzidenz ist der ideale Beginn einer achtjährigen Periode im lunisolaren Kalender von Lascaux.

 

In der Nische am hinteren Ende befinden sich zwei geometrische Zeichnungen, die ich als Mond- und Sonnenkalender deute. Erst der Mondkalender, eine doppelte Zeile von Feldern,

eines der Felder unterteilt, etwa so:

 

     I         I         I         I

 

     I    I    I         I         I

 

Die Felder im Uhrzeigersinn mit den langen und kurzen Perioden des Mondkalenders gefüllt:

 

     I 30   29 I 30   29 I 30   29 I

 

     I    I 30 I 29   30 I 29   30 I

 

Weil das Feld unten links unterteilt ist nehme ich an, dass in diesem Feld nur eine Periode zählt, nämlich die lange von 30 Tagen. So hätten wir insgesamt 11 Lunationen von 30 29 30 29 30 29 30 29 30 29 30 gleich 325 Tagen. Diese 325 Tage sind die Schlüsselzahl im Kalender von Lascaux, der meiner Meinung nach vom unterteilten Quadrat unter den beiden gegenüberstehenden Steinböcken codiert wird und den wir so auslegen können, mit Steinchen zweier Farben, hier wiedergegeben als Kreislein O und kleine Bogen ) wobei die Zeilen wieder synkopisch ausgelegt werden sollen, wie schon beim Mondkalender von Lebombo.

 

Reguläre und zwei synkopische Anordnungen :

 

   O O O O O

   O O O O O

   O O O O O

   O O O O O

   O O O O O   insgesamt 25 Steinchen (regulär)

 

   O O O O O

    O O O O

   O O O O O

    O O O O

   O O O O O   insgesamt 23 Steinchen  (synkopisch)

 

    O O O O

   O O O O O

    O O O O

   O O O O O

    O O O O    insgesamt 22 Steinchen  (synkopisch)

 

Nun das synkopisch ausgelegte Sonnenjahr von Lascaux in neun Perioden:

 

 

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    O   O   O   O   )   )   )   )   )   O   O   O   O

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    O   O   O   O   )   )   )   )   )   O   O   O   O

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Das obige Muster in Zahlen und Buchstaben:

 

     41 40 41    h i b

     40 41 40    g a c

     41 40 41    f e d

 

Das Jahr beginnt mit der Sommersonnwende zu Beginn der Periode ‚a’ in der Mitte und fährt fort mit den Perioden b c d e f g h i. Die neun Perioden a b c d e f g h i zählen 41 41 40 41 40 41 40 41 40 gleich 365 Tage, die Tage eines regulären Sonnenjahres. Nun das Besondere an diesem Kalender. Wenn Periode ‚a’ mit einem Vollmond beginnt, ist wieder Vollmond am Beginn der Periode ‚i’, im nächsten Jahr am Beginn der Periode ‚h’, im nächsten Jahr am Beginn der Periode ‚g’, und so weiter, insgesamt acht Jahre lang, dann wird eine Korrektur des Kalenders erforderlich, man muss zwei Schalttage einfügen, und der Verschiebung des Mondkalenders gegenüber dem Sonnenjahr Rechnung tragen. Mathematisch gesehen basiert dieser Kalender auf der guten Näherung dass 8 Sonnenjahre ungefähr 99 Mondjahren entsprechen.

 

hind1.JPG

 

Die Menschen früherer Zeiten pflegten ein zoomorphes und anthropomorphes Weltbild, das heisst sie erklärten die Welt in Begriffen von Lebewesen, Pflanzen, Tieren und Menschen. Die Welt war ein grosser Baum, seine Krone im Himmel, seine Wurzeln in der Unterwelt. Die Sonne war ein Pferd, der Mond ein Stier, die Wintersonnwende ein Paar gegenüberstehender Steinböcke oder Bergziegen, und die Göttin der Zeit war eine Hirschkuh welche Mondbullen ins Leben rief, sehr schön dargestellt in der Höhle von Altamira im Norden Spaniens:  hind1.JPG  Die Wände und Decken dieser Höhle wimmeln von Stieren, oft in kompakter Form dargestellt, meist rot. Diese kräftigen Stiere haben Picasso beeindruckt und inspiriert. Das weitaus grösste Tier in der Höhle von Altamira ist aber die Hirschkuh, drei Meter lang, welche die Hörner eines jungen Bullen unter ihr leckt, gleichsam einen weiteren Mondstier ins Leben rufend. So erschuf sie Zeit, Monde, Mondjahre von 30 29 30 29 30 29 30 29 30 29 30 … Tagen oder Nächten (die späteren Kelten zählten Nächte, nicht wie wir Tage). Die rote Farbe symbolisiert Leben, auch der aufgehende Mond in der Nähe des Horizontes kann rot erscheinen. Rote Tupfen auf den Wänden neolithischer Häuser in der Schweiz hatten die Bedeutung von Leben: Möge dieses Haus viele Kinder sehen, möge ihnen viele Monde und Sonnenjahre beschieden sein …

 

 

Woher kommt das Zifferblatt?  (Göbekli Tepe)

 

Der grosse Hügel Göbekli Tepe in der Region von Sanli-Urfa in Südost-Anatolien ist wohl die aufregendste archäologische Entdeckung seit Lascaux. Für einen ersten Eindruck empfehle ich die Videos auf youtube sowie das verständlich geschriebene, reich illustrierte Buch von Klaus Schmidt, Ausgräber des Göbekli Tepe seit 1995 (Probesondierungen) und 1996 (Start der eigentlichen Ausgrabung). Meine Studien des Göbekli Tepe führten mich auf einen neuen lunisolaren Kalender. Darin hat ein Monat 30 Tage, ein Jahr 12 Monate plus 5 und manchmal 6 Tage, zusammen 365 bisweilen 366 Tage. Eine Woche hat 7 Tage, wie in unserem Kalender. 63 kontinuierliche Perioden von 30 Tagen sind 1’890 Tage oder 270 Wochen. Dieser Zeitraum entspricht 64 Lunationen / synodischen Monden / Mondjahren / Monden. Für eine Lunation erhält man 29 Tage 12 Stunden 45 Minuten. Der genaue Wert beträgt 29 Tage 12 Stunden 44 Minuten 2.9 Sekunden, moderner mittlerer Wert von 1989. Der Fehler des alten Wertes beträgt weniger als eine Minute pro Lunation, oder einen halben Tag in einem Leben … Wie konnten die Menschen am Ende der letzten Eiszeit so genaue astronomische Beobachtungen und Messungen ausführen?  Der genannte Wert ist kaum mit Beobachtungen zu erklären, sondern dürfte vom Gebrauch des alten Algorithmus für die Umrechnung von Lunationen in Tage herkommen. Wenn wir die Lunation im 30 29 30 29 30 29 30 … Modus zählen, erhalten wir

 

15 Lunationen: 30 29 30 29 30 29 30 29 30 29 30 29 30 29 30 Tage = 443 Tage

17 Lunationen: 30 29 30 29 30 29 30 29 30 29 30 29 30 29 30 29 30 Tage = 502 Tage

 

     15 Lunationen 443 Tage

     17 Lunationen 502 Tage

     15 Lunationen 443 Tage

     17 Lunationen 502 Tage

 

     64 Lunationen 1'890 Tage

 

Der lunisolare Kalender vom Göbekli Tepe erlaubt viele Variationen, eine Achterschlaufe im Fall von Tempel B auf dem Hügel, ein Rechteck von 12 Pfeilern und zwei zentralen Pfeilern in einem Tempel der nahen Siedlung Nevali Çori (ausgesprochen Nevali Dschori). Das Rechteck zählt ringsherum 12 Pfeiler für je einen Monat von 30 Tagen, während der Zwischenraum der beiden etwas grösseren Pfeiler die zusätzlichen 5 und manchmal 6 Tage vorgibt. Der andere Tempel bildete ein Rechteck von 13 Pfeilern mit einem Paar zentraler Pfeiler. Dieser Tempel offenbart eine Variante des lunisolaren Kalenders vom Göbekli Tepe: eine Woche hat 7 Tage, ein Monat 4 Wochen oder 28 Tage, ein Jahr 13 Monate plus 1 und manchmal 2 Tage, zusammen 365 und manchmal 366 Tage. 135 Wochen sind 985 Tage oder 32 Lunationen. Jeder Pfeiler symbolisiert 28 Tage, der Zwischenraum zwischen den beiden zentralen Pfeilern einen zusätzlichen Tag, manchmal zwei Tage.

 

Die interessanteste Variante wäre ein Kreis aus 12 Pfählen, angeordnet wie die Ziffern einer mechanischen Uhr, die 12 nach Norden weisend, die 3 nach Osten, die 6 nach Süden, die 9 nach Westen. Man stelle sich ein weites Flusstal in Ober-Mesopotamien vor, wozu auch die Gegend von Urfa oder Sanliurfa (Schanliurfa, das prächtige Urfa) gehört. Wichtig ist ein flacher Horizont. Man zeichne einen grossen Kreis mit einer Schnur, markiere Norden und Süden, danach Osten und Westen, und trage von den beiden Achsen je einen Radius ab, so erhält man eine Zwölfteilung des Kreises wie auf einem Ziffernblatt, und markiere die zwölf Positionen mit Pfählen. Nun stelle man sich in die Mitte des grossen Kreises und beobachte die Sonne am Morgen und Abend der astronomisch wichtigen Tage, nämlich der Tag-und-Nachtgleichen oder Äquinoktien, und der Sonnwenden oder Solstitien. Am Morgen des Frühlings-Äquinoktiums erhebt sich die Sonne von der Position 3 (Osten), am Abend geht sie unter in der Position 9 (Westen). Am Morgen der Sommer-Sonnwende erhebt sie sich von der Position 2, am Abend geht unter in der Position 10. Am Morgen des Herbst-Äquinoktiums erhabt sie sich von der Position 3, am Abend geht sie unter in der Position 9. Am Morgen der Wintersonnwende geht sie auf von der Position 4, am Abend geht sie unter in der Position 8.

 

Nun kommt etwas Faszinierendes. Man kann die Sonne an diesen Tage nicht allein von der Kreismitte aus beobachten, sondern auch von ausserhalb des Kreises:

 

  Aufgang Äquinoktium:  11—1 oder 10—2 oder 9—3 oder 8—4 oder 7—5

 

  Untergang Äquinoktium:  1—11 oder 2—10 oder 3—9 oder 4—8 oder 5—7

 

  Aufgang Sommer-Sonnwende:  10—12 oder 9—1 oder 8—2 oder 7—3 oder 6—4

 

  Untergang Wintersonnwende:  12—10 oder 1—9 oder 2—8 oder 3—7 oder 4—6

 

  Untergang Sommer-Sonnwende:  2—12 oder 3—1 oder 4—10 oder 5—9 oder 6—8

 

  Aufgang Wintersonnwende:  12—2 oder 1—3 oder 10—4 oder 9—5 oder 8—6

 

Dieser Umstand, nämlich dass man die wichtigen Sonnenaufgänge und –untergänge nicht allein von der Kreismitte her beobachten kann, erlaubt es, in der Mitte einen Baum zu pflanzen, den Lebensbaum des Nahen Ostens. Auch auf dem Göbekli Tepe steht ein Baum, der den Einheimischen bis vor kurzem als Wunschbaum diente – Wünsche wurden einem Streifen weissem Stoff anvertraut und diese an Zweige geknüpft, so dass der Wind die Wünsche las und in den Himmel trug …  Der Göbekli Tepe ist ein natürlicher Hügel aus Kalkstein. Vor 12'000 Jahren wurde er mit einer Erdschicht erhöht, welche stellenweise fünf Meter tief ist. Vor 11'600 Jahren wurden die ersten Steinkreise aufgestellt. Was geschah in den rund 600 Jahren dazwischen? Das erste Heiligtum könnte sehr wohl ein Kreis von 12 Pfählen gewesen sein, aufgestellt wie die Ziffern der Uhr, zwei Pfähle Norden und Süden anzeigend, zwei andere Osten und Westen. In der Mitte hätte ein Lebensbaum stehen können, daneben vielleicht ein Altar. Jeder Pfahl hätte dann einen Monat von 30 Tagen symbolisiert, der Lebensbaum und der Altar in der Mitte, beziehungsweise der Raum zwischen Altar und Baum die 5 oder 6 weiteren Tage des Jahres. Der Kreis würde dann für 360 Tage einstehen, was die geometrische Einteilung des Kreises in 360 Tage erklären mag, während das Kreis-Heiligtum der 12 Pfähle oder Pfeiler mit dem Lebensbaum und Altar in der Mitte als Ascherah-Heiligtum des Nahen Ostens bekannt wurde, die Göttin Ascherah anwesend im Lebensbaum und der Gott El verehrt am Altar der vier Hörner in der Nähe des Lebensbaumes.

 

 

Beersheba

 

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Beersheba im Süden von Israel war ein Zentrum des Kupferzeitalters oder Chalcolithikums im Nahen Osten, Viertes Jahrtausend vor Christus. Von dieser Kultur haben wir erstaunliche Zeugnisse. Auf dem Deckel einer Elfenbein-Dose erkennt man eine Rosette von zwölf kleinen Kreisen auf Strahlen um einen grösseren Kreis in der Mitte, zwölf Pfähle um den Lebensbaum? Ein Anhänger von Ghassoul, Jordan, auch zur einstigen Kultur von Beersheba gehörend, zeigt ebenfalls ein Ascherah-Heiligtum, aussen herum 12 Kerben (wenn wir den abgebrochenen Teil ergänzen), in der Mitte einen Baum, und den Altar der vier Hörner in Form eines Kreuzes, möglicherweise das Achsenkreuz Nord-Süd und Ost-West symbolisierend. Von Meggido weiter im Norden von Israel stammt ein vierhörniger Altar. Ein Anhänger von Safadi in der Nähe von Beersheba ist mehrfach perforiert, aussen herum finden sich neun Löcher welche die neun Pfähle symbolisieren mögen, in der Mitte ein Loch für den Lebensbaum, daneben ein Loch für den Altar. Diesmal steht ein Pfahl für einen langen Monat von 40 Tagen. 9 Monate sind 360 Tage, der Lebensbaum und Altar oder der Raum dazwischen symbolisieren 5 oder 6 zusätzliche Tage, zusammen 365 oder 366 Tage des Jahres. Wenn wir auch den Mond einbeziehen bekommen wir eine interessante Übereinstimmung von Lunationen und langen Monaten: 4/3, 19/14, 23/17, 42/31, 65/48, 107/79  *  65/48, 42/31, 107/79, 149/110, 256/189. Vier Lunationen sind ungefähr drei lange Monate, neunzehn Lunationen sind ungefähr vierzehn lange Monate, und so weiter. Man kann viele solche Folgen bilden, indem man Zähler und Nenner addiert. Hat man 4/3 und 19/14 so kann man den nächsten Wert bilden: 4+19 / 3+14 = 23/17. In der Schule sind solche Additionen von Brüchen verboten, aber in der frühen Mathematik spielten sie eine grosse Rolle, wie später gezeigt werden soll.

 

 

Die Augen des Horus-Falkens

 

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Aus El-Mamariya in Oberägypten stammen elegante Frauenfigürchen mit kosmologischer Bedeutung  eg1b.GIF  Der Unterkörper symbolisiert die Erde, die erhobenen Arme symbolisieren die Hänge der östlichen und westlichen Berge, die Hände symbolisieren die Sterne, welche am östlichen Horizont aufgehen und am westlichen Horizont versinken, ihr Vogelkopf symbolisiert die Himmelshöhe, ihre Augen symbolisieren Mond und Sonne …

 

Die Liebesgöttin Hathor war auch die Himmelsgöttin, eine Frau und manchmal eine Kuh. Eine Schminkpalette zeigt den Kopf einer Kuh als Ursprung der Sterne, vergleichbar mit der Göttin von El-Mamariya  eg1b.GIF

 

Die Augen des Horusfalkens symbolisieren ebenfalls Mond und Sonne. Das Mondauge ist mit einer sonderbaren Geschichte verbunden. Seth zerstörte das Mondauge, worauf der weise Thoth es heilte. Das geheilte Auge hiess Das Ganze. Er war zusammengesetzt aus einzelnen Teilen, denen Zahlwerte zukamen, nämlich 1/2 und 1/4  und 1/8 und 1/16 und 1/32 und 1/64, oder einfach ’2 ’4 ’8 ’16 ’32 ’64, die sogenannte Reihe des Horus-Auges. Wenn man die Brüche zusammenzählt, erhält man 63/64, keine ganze Zahl, etwas weniger als 1. Weshalb dann Das Ganze? Ein ägyptischer Monat zählte 30 Tage. Multipliziert man 30 Tage mit der Reihe des Horus-Auges ’2 ’4 ’8 ’16 ’32 ’64 so erhält man 29 ’2 ’32 Tage, oder 29 Tage 12 Stunden 45 Minuten, den ausgezeichneten Wert für eine Lunation im lunisolaren Kalender vom Göbekli Tepe. Das Ganze heisst also eine ganze Lunation. Als zeitliche Perioden symbolisiert das Mondauge des Horusfalkens eine Lunation und das Sonnenauge einen Monat von 30 Tagen.

 

 

Zwei altindische Kalender

 

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Auf ein paar altindischen Täfelchen ist ein gehörnter Gott zu sehen  indus2.JPG  Er ist meiner Meinung nach eine Kalenderfigur und symbolisiert die Sommer-Sonnwende in einem Kalender analog demjenigen des Göbekli Tepe:

 

   Fest der Sommersonnwende, 3 Tage, gehörnter Gott

 

   90 Tage des Rhinozeros, Monsun

 

   90 Tage des Büffels

 

   Fest der Wintersonnwende, zwei Tage der Steinböcke,

   bisweilen, dazwischen, ein Tag der gehörnten Göttin

 

   90 Tage des Tigers

 

   90 Tage des Elephanten

 

Die Sumerer nannten das Indus-Tal das Land der Sieben Hohen Orte oder Sieben Hügel. Dies kann sieben wichtige Städte meinen, oder, meiner Meinung nach wahrscheinlicher, ein Heiligtum von sieben Hügeln um einen zentralen Schrein. Diesem Heiligtum hätte ebenfalls eine kalendarische Bedeutung innegewohnt. Jeder Hügel hätte eine Periode von 52 Tagen symbolisiert, alle sieben Hügel zusammen 364 Tage, der Schrein im Zentrum 1 Tag oder manchmal 2 Tage, zusammen 365 oder manchmal 366 Tage. Dieser Kalender wird besonders interessant wenn wir den Mond einbeziehen, Lunationen mit langen Perioden von 52 Tagen vergleichen:

 

   7–4   16–9   23–13   30–17   37–21   44–25   53–30   60–34   67–38   74–42   81–46

 

7 Lunationen sind praktisch 4 Perioden von 52 Tagen. 37 Lunationen sind praktisch 21 fortlaufende Perioden von 52 Tagen oder ungefähr drei Jahre. Und so weiter. Das beste Resultat erhält man mit dem letzten Zahlenpaar: 81 Lunationen sind praktisch 46 fortlaufend gezählte Perioden von 52 Tagen, nämlich 2’392 Tage. Berechnet man eine Lunation nach diesen Zahlen, so erhält man 29 Tage 12 Stunden 44 Minuten 26,66… Sekunden, genauer Wert 29 Tage 12 Stunden 44 Minuten 2,9 Sekunden, Fehler des indischen Wertes kleiner als eine halbe Minute per Lunation, oder sechs Stunden auf ein Leben.

 

 

Minoische Kalender und Symbole

 

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Die Minoer kamen wahrscheinlich von Ebla in Syrien, wo ebenfalls ein Minotaurus bekannt war, wie im Palast von Knossos auf Kreta. Der alte Name von Ebla oder Tell Marduch war mu-nu-ti-um, Ugaritisch mnt, Ezechiel in der Bibel, 27:17 spricht von Weizen aus Minnit, offenbar ein Weizen allerbester Qualität. Im Hieroglyphischen Minoisch, in Linear A und Linear B wird der Name als Mi-Nu-The gegeben und jedesmal gleich geschrieben, etwa so:

                      

          O          o     o    o o o o o

         o     o     o     o        o

        o       o    o o o o    o o o o o

       o       o     o     o        o

      o   o  o       o o o o    o o o o o

      o    o         o     o        o

       o o           o     o        o

 

Im ersten Zeichen für Mi- erkennt man einen Stierkopf, im zweiten Zeichen für -Nu- einen Stierspringer oder eine Stierspringerin auf den Füssen Händen Füssen (ein optischer Witz), und im dritten Zeichen für -The einen Lebensbaum. Mi-Nu-The wäre der Ursprung von Minos, dem Namen des mythologischen Königs von Kreta. Die Minoer brachten den Kalender vom Göbekli Tepe mit sich und haben ihn weiter entwickelt. Der Mythos vom Minotaurus im Labyrinth von Knossos und die Geschichte von Theseus und Aridane codiert einen Kalender von 19 Jahren oder 235 Lunationen, das grosse Steinrad im Hof des Palastes von Mallia einen Kalender von 33 Jahren. Es würde zu weit führen, diese anspruchsvollen Kalender hier zu erläutern. Ich beschränke mich daher auf eine sehr hübsche Variante des lunisolaren Kalenders vom Göbekli Tepe in Form einer Blume von acht Blütenblättern um einen kleinen Kreis in der Mitte. Eine solche Blume findet sich auf einer wunderschönen Kamares-Vase von Knossos. Die Blüten sind schwarz, zwischen den Blüten sind feine Zwischenräume, welche, für sich allein genommen, das Windkreuz angeben (N NE E SE S SW W NW). Der kleine Kreis in der Mitte ist rot eingezeichnet. Ein Blütenblatt steht für einen langen Monat von 45 Tagen. Eine Woche hat 9 Tage (auch die Woche in Homers Odyssee scheint neun Tage lang gewesen zu sein). Alle 8 Blütenblätter stehen für 360 Tage. Für den kleinen Kreis in der Mitte bleiben 5 und manchmal 6 Tage. Insgesamt erhalten wir 365 und manchmal 366 Tage. 21 kontinuierliche Perioden von 45 Tagen sind 985 Tage oder 105 Wochen von 9 Tagen. Dieser Zeitraum entspricht 32 Lunationen, mit demselben kleinen Fehler von weniger als einer Minute pro Lunation, oder einem halben Tag in einem Leben.

 

Der hübsche Kalender in Form einer Blume ist ein Beispiel für meine Formel „einfach aber komplex“ und diente mir als Schlüssel zum Verstehen der minoischen Symbole am Beispiel eines Siegels aus Onyx  minoan.JPG 

 

Stierhörner oder Sakralhörner: ein einzelnes Paar symbolisiert Raum, wiederholte Hörner symbolisieren Zeiträume (dann mit den Schwingen des Greifs verwandt, siehe unten)

 

Minoische Doppelaxt: markiert die Anwesenheit der dreifachen Göttin, Britomartis (rechte Klinge), Diktynna (Schaft), Elaia/Lousia (linke Klinge)

 

Britomartis: rechte Klinge der Doppelaxt, Sonnenaufgang (im Fall einer Doppelklinge auch der Mondaufgang), östlicher Horizont, Morgen, Frühling, Göttin der Aussaat und des Keimens, angerufen für Regen in der Gegend von Mallia

 

Diktynna: Schaft der Doppelaxt, Zenith (und Nadir), Mittag (und Mitternacht), Mittsommer (und Mittwinter), Stab oder Szepter, Lebensbaum (angedeutet von einem Zweig, der aus einem Doppelhörner wächst), eine Zypresse auf der ein Vogel sitzt, eine Säule in einem Doppelhorn, ein Hügel oder Berg, ein hoher Hut, ein Diadem aus Vögeln, Haupt der weiblichen Triade, oberste minoische Göttin, alle drei Göttinnen in sich vereinend, auf den Diktäischen Bergen wohnend, mit einem Heiligtum in der Diktäischen Höhle

 

Elaia/Lousia: linke Klinge der Doppelaxt, Sonnenuntergang (im Fall einer Doppelklinge auch der Monduntergang), westlicher Horizont, Abend, Herbst beziehungsweise Erntezeit, Göttin der Ernte, begleitet von einer grossen Biene als Symbol der fleissigen Bauern, welche die Ernte einsammeln und zu den Speichern bringen, Elaia bedeuted Olive, Lousia die Zornige, andeutend dass die Göttin auch die Ernte verweigern, die Pflanzen verdorren lassen und eine Hungersnot auslösen kann – die Inschrift auf einer goldenen Doppelaxt in der Höhle Arkalochori in der Übersetzung von Derk Ohlenroth besagt: Ich gehöre der Göttin Lousia,  offenbar eine Votivgabe, wahrscheinlich die Bitte um eine gute Ernte

 

Symbole der dreifachen Göttin, oder Diktynna als Haupt der weiblichen Triade: Doppelaxt, ein dreifaches Rauchgefäss, ein Strauss aus einem Keimblatt, einer Blume und einer Sichel

 

Geflügelte Greife zu Seiten der Göttin: astronomisches Jahr, die Flügel symbolisieren die Zeiträume zwischen den Sonnwenden und Äquinoktien

 

  Winter-Sonnwende – Frühlings-Äquinoktium

  Frühlings-Äquinoktium – Sommer-Sonnwende

 

  Sommer-Sonnwende – Herbst-Äquinoktium

  Herbst-Äquinoktium – Winter-Sonnwende

 

(die Flügelpaare entsprechen den mehrfachen Doppelhörnern als Symbole von Zeiträumen)  minoan.JPG 

 

Frühlings-Äquinoktium: Fest der Britomartis welche als Kybele mit dem jungen Gottkönig unter den frischen grünen Blättern des Lebensbaumes tanzt

 

Sommer-Sonnwende: Fest der Diktynna, der obersten Göttin und des Hauptes der weiblichen Triade, im Schatten unter dem Heiligen Baum ruhend

 

Herbst-Äquinoktium: Fest der Elaia/Lousia, Ernte-Dankfest

 

Winter-Sonnwende als Ende der Vegetations-Periode: rituelles Ausreissen des Heiligen Baumes und Trauer um ihn

 

Winter-Sonnwende als Beginn einer neuen Vegetationsperiode: Britomartis als Kybele gebiert den Kouros (später mit dem jungen Zeus identifiziert), eine Priesterin der Diktynna verkündet das frohe Ereignis, indem sie in eine Triton-Muschel bläst …

 

 

Die Vogelgöttin vom Balkan

 

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Eine flache Schale von Gradešnica bei Vraca im westlichen Bulgarien, Vinča-Kultur, rund 7'000 Jahre alt, zeigt auf der Unterseite die geometrisch stilisierte Vogelgöttin  kirike30.GIF  Ein ähnliches, nun rein geometrisches Zeichen findet sich als Töpfermarke  auf einem ähnlich alten böhmischen Gefäss  kirike31.GIF  Die geometrische Figur lässt sich als Kalender lesen. Auf die Wintersonnwende folgen drei Perioden à 25 Tagen, zusammen 75 Tage, Frühlings-Äquinoktium 16 Tage, drei Perioden à 25 Tagen, zusammen 75 Tage, Sommer-Sonnwende 16 Tage, drei Perioden à 25 Tagen, zusammen 75 Tage, Herbst-Äquinoktium 16 Tage, drei Perioden à 25 Tagen, zusammen 75 Tage, Winter-Sonnwende 17 und manchmal 18 Tage, alles in allem 365 und manchmal 366 Tage. Auch dieser Kalender ist ein lunisolarer Kalender, denn er geht mit Perioden von 7 Lunationen einher, wie die folgende Graphik zeigt:  kirike32.GIF  Sieben Lunationen nach dem alten Algorithmus gezählt sind 30 29 30 29 30 29 30 Tage, zusammen 207 Tage, im Rahmen des obigen Kalenders in diese Perioden gegliedert:

 

   25 25 25 16 25 25 25 16 25

      25 25 16 25 25 25 16 25 25

         25 16 25 25 25 16 25 25 25

               25 25 25 16 25 25 25 16 25

                  25 25 16 25 25 25 16 25 25

                     25 16 25 25 25 16 25 25 25

 

Die Kreisbögen der sieben Lunationen evozieren das eigentümliche keltische Rolltier, welches dann als Kalenderfigur gelten dürfte:  kirike32.GIF  kirike33.GIF  kirike34.GIF

 

 

Der grosse Rabe von Yverdon-Clendy

 

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Die Menhire von Yverdon-Clendy in der welschen Schweiz standen einst am See. Die erste Anlage dürfte rund 6'400 Jahre alt sein, vielleicht erbaut von Einwanderern aus der Bretagne. Später kamen viele weitere Steine hinzu. Meiner These nach bestand die erste Anlage aus sieben Menhiren, welche gleichzeitig einen Kolkraben darstellten  menhir1b.GIF  und eine Kalenderfigur aus fünf Steinen  menhir1d.GIF  und einen Korridor der Sommerwende aus vier Steinen  menhir1f.GIF  und einen Plan des Drei-Seen-Landes  menhir8b.GIF  Die Kalenderfigur aus fünf Steinen bezeichnet folgende Daten: Winter-Sonnwende (21. Dezember), Frühlings-Äquinoktium (21. März), Beltine/Samain (um den 1. Mai), Sommer-Sonnwende (21. Juni), Herbst-Äquinoktium (23. September), Samain/Beltine (um den 1. November). Die Achse des Neuenburgersees, von Yverdon-Clendy aus gesehen, entspricht der Richtung der aufgehdenen Mittsommer-Sonne – dies die Schlüsselidee der Menhir-Anlage, die ich meinem Bruder Steve verdanke (November 2001) .Der Korridor der Sommer-Sonnwende führte auf den See, hin auf die Sommersonne, welche um den 21. Juni mitten aus dem See aufzusteigen schien. Hier Bilder vom nahen Strandbad, das Fernsehbild zeigt den Sonnenaufgang vom 21. Juni:  menhir2p.JPG  menhir2q.JPG  menhir2r.JPG

 

Es folgt eine graphische Darstellung des grossen Kolkraben, die Nummern beziehen sich auf die Zählung von Jean-Louis Voruz, Ausgräber der Anlage (Hommes et Dieux du Néolithique, Les statues-menhirs d’Yverdon, 1992):

 

                                     M11

 

 

                      M2

                                   M45

                           M29

 

                                M38

 

                           M34

                   M14

 

 

M11: Frühlings-Menhir, 21. März, linkes Flügel-Ende des Kolkraben, Biel im Rahmen der geographischen Karte der Drei-Seen-Region

 

M29 in der Zählung von Jean-Louis Voruz: Menhir von Beltine (und Samain), Anfang Mai, Körper des Kolkraben, Neuchâtel

 

M14: Sommer-Menhir, 21. Juni, rechtes Flügelende des Kolkraben, Yverdon

 

M38, von Jean-Louis Voruz als „chef“ bezeichnet: Herbst-Menhir, 23. September, Kopf des Kolkraben, Murten

 

M29: Menhir von Samain (und Beltine), Anfang November, Körper des Kolkraben, Neuchâtel

 

M2: Winter-Menhir, 21. Dezember, Schwanz des Kolkraben, Les Brenets am Doubs im Jura

 

M34: Mitte des rechten Flügels, Payerne

 

M45 in der Zählung von Jean-Louis Voruz: Mitte des linken Flügels, Aarburg

 

Kalenderfigur M2 – M11 – M29 – M14 – M38 – M29 – M2

 

Korridor der Sommer-Sonnwende: M14 ----- M45 und M34 --- M38

 

Die erste Anlage wäre später um viele Menhire erweitert worden, so dass der Kolkrabe nicht mehr erkennbar ist, während die Kalender-Figur und der Korridor der Sommersonnwende auch im neuen, erweiterten, geometrisch leicht veränderten Konzept ihren Platz fanden:  menhir1h.GIF  menhir1o.GIF  Im neuen Konzept überlagern sich der pflanzliche, tierische und menschliche Zyklus, was hier nicht weiter ausgeführt werden kann. Ich möchte nur sagen, dass alte Anlagen wie zum Beispiel diese Menhire alles andere als primitiv sind.

 

Die frühen Phasen von Stonehenge lassen ähnliche Ideen vermuten wie wir sie in Yverdon-Clendy vorfinden. Diesmal mögen die Zeichnungen für sich selber sprechen:  menhir5a.GIF  menhir5b.GIF  menhir5c.GIF  menhir5d.GIF  menhir5e.GIF  menhir5f.GIF  menhir5g.GIF

 

Ein charmanter Silberstater aus der Bretagne zeigt das Sonnenpferd des frühen Morgens des 21. Jnui, unter ihm die Schnauze eines Fuchses, der aus einem Erdloch hervorlugt – es ist der Fuchs, welcher das Sonnenpferd durch das Labyrinth der Unterwelt führte  menhir5h.GIF

 

 

Falera und Stonehenge

 

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Die Menhire von Falera in der Rekonstruktion des Ehepaares Büchi suggerieren einen Kalender welcher demjenigen der Vogelgöttin vom Balkan gleicht, nur dass diesmal anstelle einer Periode von 7 Lunationen oder 207 Tagen eine etwas längere Periode von 9 Lunationen oder 266 Tagen zum Tragen kommt:  menhr023.GIF  Neujahr wäre der 25. Dezember unseres heutigen Kalenders. Am 25 Dezember des Jahres 1'089 am Morgen um 10 Uhr 17 ereignete sich eine totale Sonnenfinsternis, welche, ein neues Jahr einführend, besondere Bedeutung gehabt haben muss, weshalb das Ereignis auf einen Stein der Muotta graviert wurde, und zwar als Mondschlange welche die Sonnenschlange verschluckt. Eine ähnliche Darstellung findet sich auf einem grossen Stein ob Sondrio im Bergell, was darauf hindeuten könnte, dass die bronzezeitlichen Menschen der Bündner- und Tessiner-Alpen miteinander Kontakte pflegten und denselben Kalender verwendeten. Es könnte auch eine Zinn-Strassevon Cornwall im Südwesten von Britannien via Falera nach Olivone im Tessin und von da nach dem heutigen Venedig und weiter nach Griechenland geführt haben.

 

Die Bronzenadel von Falera, ausgestellt im schönen Museum Chur, war ein Szepter:  falera01.JPG  falera02.JPG  Auf der Scheibe ist ein Kalender dargestellt, welcher 52 Wochen symbolisiert, wobei man die inneren 16 Punkte plus die äusseren 20 Punkte und nocheinmal die inneren 16 Punkte zählt und so 52 Wochen für ein Jahr bekommt  falera.GIF  Auch der Mond gelangt in diesem Kalender zu seinem Recht, wie aus dem Studium der Zeichnung hervorgehen mag.

 

Hier ein analoger Kalender für Homers Odyssee, hypothetisch:  falerag.GIF  falerag2.GIF

 

Stonehnege 3ii erweist sich als ähnlicher Kalender wie derjenige von der Bronzescheibe von Falera, der innere Kreis wird ebenfalls zweimal gezählt:  faleras1.GIF  faleras2.GIF  faleras3.GIF  faleras4.GIF  faleras5.GIF  faleras6.GIF  faleras7.GIF  faleras8.GIF  faleras9.GIF

 

Der goldene Rhombus von Bush Barrow in der Nähe von Stonehenge zeigt praktisch denselben Kalender wie die Bronzescheibe von Falera  falerat1.GIF 

 

Der sogenannte Archer von Stonehenge stammte aus den Alpen, vielleicht aus Bayern, vielleicht sogar aus den Bündner Bergen …

 

Die frühe Schweiz war mit der Welt verknüpft, und wäre sogar in die Wirren am Ende des Bronzezeitalters verwickelt worden, falls wirklich eine Zinnstrasse von Cornwall über Falera und Olivone nach Griechenland geführt haben sollte. Die Griechen hatten kein Zinn, es stammte hauptsächlich vom Erzgebirge in Mitteleuropa und wurde via Donau, Schwarzes Meer, Meer von Marmara und Dardanellen an Troja vorbei nach Griechenland geführt, oder es kam vom Zentralasien ebenfalls via Schwarzes Meer, Meer von Marmara und Dardanellen an Troja vorbei nach Griechenland. Homer berichtet vom Trojanischen Krieg, der um die schöne Helena geführt wurde, Die Helena war die Gattin von xanthos Menelaos, aber wurde vom Trojanischen Prinzen Paris entführt. Wer kann glauben, dass es bei diesem Krieg, der die antike Welt für mehrere hundert Jahre in die Krise stürzte, um eine schöne Frau ging? Helena ist in Wirklichkeit ein Symbol – und zwar ein Symbol für das kostbare Zinn, welches für die Herstellung von Bronze verwendet wurde, Moderne Bronze enthält ungefähr fünf Prozent Zinn. Mykenische Bronze erforderte zwölf oder gar fünfzehn Prozent des damals äusserst kostbaren Metalls (heute ist es ganz billig, zum Beispiel in der Cola-Dose ein Wegwerf-Material). In  Homers Odyssee findet sich eine ganze ‚Familie’ von Metallen. Die schöne Helena symbolisiert Zinn, ihre weissen Arme symbolisieren Zinnbarren, ihre glitzernden Gewänder, die sie selber anfertigte, symbolisieren das glitzernde Zinnerz Kassiterit, ihr Faden symbolisiert Zinndraht, damals aus dünn gehäämertem Zinnblech geschnitten. Ihr Gatte xanthos Menelaos symbolisiert Kupfer, wobei die Farbe xanthos alle Töne von Kupfererz abdeckt, Gelb, Braun, Rot. Ihre gemeinsame Tochter Hermione, welche der goldenen Aphrodite gleicht, symbolisiert Bronze, frisch gegossen von goldenem Glanz. Menalaos oder Menelaus hatte eine Sklavin zur Geliebten, diese symbolisiert Andrasit, ein Mineral das sich in der Troas (Ebene von Troja) fand, eine natürliche Legierung von Kupfer und Zink, oder, wenn man will, Zink in versklavter Form, und der Sohn dieser beiden war der starke, spät gekommene Megapenthes, ein Symbol für Messing, härter als Bronze, und spät in die Familie der Metalle hinzugekommen …

 

Meine Forschung über die Sprache der Eiszeit ergab KAL für die Unterwelt. Ableitungen davon wären Höhle und hohl, ebenso Quelle als Wasser aus dem Erdinneren – früher glaubte man dass alle Gewässer unterirdisch miteinander verbunden wären. Sonnenpferd und Mondstier zogen über den Himmel auf ihrem Weg vom östlichen zum westlichen Horizont und durchquerten die Höhlen der Unterwelt auf ihrem Weg vom westlichen Horizont zurück zum östlichen Horizont von wo sie erneut an den Himmel aufstiegen. Lascaux und andere bemalte Höhlen zeigen, dass die Unterwelt ein prächtiger Ort war. Griechisch kallós heisst schön. Die Mühen des Bergbaus verkehrten dann das positive Bild der Unterwelt ins Gegenteil und machten aus ihr eine Hölle. Variationen von KAL sind in den Namen vieler alter Völker zugegen, die im Bergbau tätig waren, Kelten Gallier Helvetier, auch Hellenen, ein anderer Name für die Griechen. Homers Helena war das Symbol für Zinn, während Griechisch chalkós Erz, Kupfer, Bronze bedeutet. PAD in der Sprache der Eiszeit wäre das Wort für Füsse und Gehen gewesen, vielleicht onomatopoetisch wie in unserem patschen oder im Englischen pad pad pad pad. Lateinisch pedes heisst Füsse. Der Name unserer Vorfahren, der keltischen Helvetier, könnte eine Ableitung von KAL PAD sein und würde so viel bedeuten wie: jene welche die Unterwelt begehen, in den Minen arbeiten.

 

Märchen haben viele Aspekte. Manchmal erzählen sie auch von alter Zeit. So glaube ich dass das Märchen von Schneewittchen und den sieben Zwergen eine Erinnerung an den èbergang vom Kurpferzeitalter zum Bronzezeitalter bewahrt. Die schöne, eitle und dann eifersüchtige Königin wäre das Symbol für Kupfer, welches rund 5'000 Jahre lang das Kostbarste war, was es auf Erden gab. Sie besah sich in einem Spiegel, natürlich einem polierten Kupferspiegel, und fragte nach der schönsten Frau im ganzen Land. Der Spiegel antwortete immer dasselbe: die Königin sei die Schönste, will sagen Kupfer das Kostbarste. Aber eines Tages sagte der Spiegel doch etwas anderes, nämlich dass hinter den sieben Bergen bei den sieben Zwergen eine Prinzessin wohne, die noch viel schöner sei als die Königin, will sagen dass weit weg, im Erzgebirge ein noch viel kostbareres Material gefördert werde, nämlich Zinn, ein weisses Metall, symbolisiert in Schneewittchen, eigentlich Schneeweisschen. Die Königin ist eifersüchtig und sendet Schneewittchen einen vergifteten Apfel. Der wäre dann ein Hinweis auf das hochgiftige Arsen, mit welchem man Kupfer härtete, bevor man mit der Beigabe von Zinn ein sehr viel besseres Resultat erreichte, und ohne giftige Dämpfe. Die sieben Zwerge waren Bergleute. Wieso Zwerge? Mineure waren vorwiegend kleine Leute, die sich gut in den niederen Stollen bewegen konnten, auch Buben von elf oder vierzehn Jahren au, welche viel zu wenig Sonne bekamen und oft auch zu wenig Nahrung, so dass ihre Entwicklung behindert war und sie ihr Leben lang klein blieben. Das Märchen von Schneewittchen und den sieben Zwergen zeigt sie als mürrische Gesellen aber liebenswürdige Freunde und Menschen und erweist so den Bergleuten, die von einem harten Los gezeichnet waren, die Ehre. Wären sie nicht gewesen, so müssten wir heute auf viele Annehmlichkeiten verzichten.

 

 

Was ist Zeit?

geschrieben am Pfingstmontag 2005 für die Nachbarschaftshilfe Altstetten/Grünau, Zürich

(unverändert übernommen)

 

Der Heilige Augustin stellte die Frage nach dem Wesen der Zeit. Was ist Zeit? Wenn mich niemand fragt, weiss ich es, aber wenn mich jemand fragt, so weiss ich es nicht.

 

So ähnlich geht es uns allen. Innerlich haben wir ein Gefühl für die Zeit, aber wer kann sagen, was Zeit ist?

 

Eine Ausnahme war möglicherweise der chinesische Weise Laotse aus der Provinz Honan oder Henan (dem Stammland der neolithischen Yangshao-Kultur), geboren am Ende des siebten vorchristlichen Jahrhunderts. Laotse heisst der Alte. Sein Geschlechtsname war Li, in China so häufig wie bei uns Meier oder Müller. Sein Gelehrtenname war Be Yang, Graf Sonne. Nach seinem Tod erhielt er den Namen Lao Dang, altes Langohr, Lehrer, nicht etwa ironisch, sondern ein grosses Kompliment ...

 

Meine Mutter war 1921 in Schanghai geboren, hatte eine chinesische Nanny, und war im Glauben aufgewachsen, selber ein Chinesli zu sein. Als ich ein Teenager war, so etwa vierzehn Jahre alt, gab sie mir den Tao Te King (Daode Djing) von Laotse. Ich las das Buch vom Sinn und Leben, verstand wenig, aber war fasziniert, zum Beispiel von Spruch 11, hier in der Übersetzung von Richard Wilhelm, 1910:

 

Dreissig Speichen treffen sich in einer Nabe: / Auf dem Nichts daran (dem leeren Raum) beruht des Wagens Brauchbarkeit. / Man bildet Ton und macht daraus Gefässe: / Auf dem Nichts daran beruht des Gefässes Brauchbarkeit. / Man durchbricht die Wand mit Türen und Fenstern damit ein Haus entstehe: / Auf dem Nichts daran beruht des Hauses Brauchbarkeit. / Darum: das Sein gibt Besitz, das Nichtsein Brauchbarkeit.

 

Man verschaffe sich freien Raum im eigenen Zimmer, in der eigenen Wohnung, im eigenen Leben, so kann man etwas damit anfangen. Das ist einfach zu verstehen. Ich glaube aber, dass der Weise, das Alte Langohr, noch etwas mehr mit seinen Zeilen sagen wollte.

 

Lassen Sie mich ein wenig ausholen. Im Rahmen meiner kulturwissenschaftlichen Arbeit fand ich einen uralten mesopotamischen Kalender, der sich nach China, Ägypten, Kreta und Griechenland ausbreitete. Ein Jahr bestand aus 12 Monaten von je 30 Tagen, dazu kamen 5, bisweilen 6 Tage. So bekommt man ein Sonnenjahr von 365 und manchmal 366 Tagen. Führt man einen zweiten Kalender, indem man fortwährend 30 Tage aneinanderreiht, so kann man auch den Mond erfassen: 63 Perioden von 30 Tagen ergeben 1890 Tage, das sind praktisch 64 Lunationen oder synodische Monde (eine Lunation entspricht zum Beispiel der Dauer von einem Vollmond zum nächsten Vollmond). Das ist ein cleverer Kalender, den ich im ägyptischen Horus-Auge wie auch in chinesischen Artefakten der Yangshao-Kultur, insbesondere von Banshan in der Provinz Gansu nachweisen kann.

 

So viel oder wenig zur Archäologie. Jetzt wieder zu Laotse. Als Gelehrter hiess er Graf Sonne, da wird er wohl die alten Kalender seiner Heimat gekannt haben, und wenn dem so war, dürfte das Rad von 30 Speichen im obigen Spruch auf den alten Monat von 30 Tagen anspielen. Was wäre dann der leere Raum im Zentrum der Nabe, das Brauchbare an der Nabe, am Rad?

 

Möglicherweise das Werden. Was wir Zeit nennen, wäre ein Gefäss oder eine Schale für das Werden, dasjenige das wird, wächst, blüht, und Früchte trägt ...

 

Seit ich den Spruch des weisen Alten auf diese Weise verstehe, habe ich einen Trost für die immer rascher vergehenden Jahre gefunden: die Zeit kann man nicht festhalten, oder aufhalten, doch man kann sich auf das Werden konzentrieren, im Frühling die blühenden Bäume anschauen, sich an eigenen und anderen Kindern freuen, als Grosseltern an den Enkeln, oder sich für eine Aufgabe engagieren, die ein Werden zum Zweck hat (zum Beispiel ist das Anliegen meiner wissenschaftlichen Arbeit ist eine faire Kulturgeschichte, welche die Einsichten aller Völker ehrt, als Basis einer gedeihlichen globalen Gesellschaft), oder für eine gute Organisation wie die Nachbarschaftshilfe: ein in die Zukunft weisendes Projekt, denn die moderne, immer mehr aufgefächerte und zersplitterte Gesellschaft braucht neue Modelle von Zusammenhalt. Wie man vernehmen kann, gehören Einsätze als Freiwillige in Amerika zum Pflichtenheft eines Managers - nicht etwa, um Abzockern ein etwas besseres Gewissen zu verschaffen, sondern weil Freiwilligenarbeit in die Zukunft weist, in den kommenden Jahrzehnten mehr und mehr Bedeutung erhalten wird -, und aus der medizinischen Forschung war zu vernehmen, dass hilfsbereite Menschen länger leben ...

 

Sehen Sie die Nachbarschaftshilfe und andere Formen der Freiwilligenarbeit als Projekte, als eine im Werden begriffene neue Form eines menschlichen Zusammenlebens, als einen Aspekt des Werdens, und Sie haben Teil an der eigentlichen Zeit im Sinne von Laotse, von Lao Dan, dem weisen alten Langohr ...

 

 

Ägypten und Mesopotamien

 

Der grosse griechische Philosoph und Wissenschaftler Aristoteles schrieb in Buch 1 Kapitel 1 seiner Metaphysik:

 

  PERI AIGYPTON HAI MATHAEMATIKAI PROTON TECHNAI SYNESTAESAN

 

Die ersten mathematischen Techniken stammen aus Ägypten. Da die Griechen in unserem westlichen Kulturkreis so ausserordentlich viel gelten, dürfen wir einem der grössten von ihnen vertrauen und nach mathematischen Kenntnissen der Ägypter ausschauen. Das tue ich seit vielen Jahren und möchte hier ein paar Perlen meiner Forschung ausbreiten.

 

Die griechische Bezeichnung für die ägyptischen Geometer war harpedontes, wörtlich Seilspanner, im übertragenen Sinne Landvermesser. Mit dem Ausmessen von Feldern stellte sich die Frage nach Verhältnissen. Beispielsweise nach der Diagonale eines Quadrates. Wie ist ein Quadrat definiert? Es ist eine geometrische Figur aus vier geraden Strecken gleicher Länge und zwei Diagonalen, die ebenfalls gleich lang sind. Eine Diagonale ist länger als eine Seite, weniger lang als zwei Seiten. Gibt es einen Weg, wie man das Verhältnis von Diagonale zur Seite besser bestimmen kann? Lange praktische Erfahrung zeigt, dass ein Quadrat, dessen Seite 5 Schritte misst, eine Diagonale hat, dessen Seite ungefähr 7 Schritte misst, und wenn die Seite 7 Schritte beträgt, so die Diagonale ungefähr 10 Schritte, zweimal die anfänglichen 5 Schritte.

 

   Seite 5 Schritte, Diagonale ungefähr 7 Schritte

 

   Seite 7 Schritte, Diagonale ungefähr 2 mal 5 gleich 10 Schritte

 

Das gilt auch für Mehrfache:

 

   Seite 5 / 10 / 15 / 20 / 25 … Schritte

 

      Diagonale ungefähr 7 / 14 /21 / 28 / 35 Schritte

 

   Seite 7 / 14 / 21 / 28 / 35 … Schritte

 

       Diagonale ungefähr 2x5=10 / 2x10=20 / 2x15=30 / 2x20=40 / 2x25=50 … Schritte

 

Hat ein Quadrat eine Seitenlänge von 5 Schritten, so misst die Diagonale ungefähr 7 Schritte, und hat ein Quadrat eine Seitenlänge von 7 Schritten, so misst seine Diagonale ungefähr 10 Schritte … Irgendwann fragte sich ein kluger ägyptischer Landvermesser was geschieht, wenn er die Zahlen kombiniert, wenn die Seite eines neuen Quadrates 5 plus 7 gleich 12 Schritte misst. Darf man annehmen, dass die Diagonale des neuen Quadrates dann auch 7 plus 10 gleich 17 Schritte misst? Tatsächlich, wenn die Seite eines Quadrates 12 Einheiten misst, so beträgt die Diagonale praktisch 17 Einheiten, und wenn die Seite 17 Einheiten misst, so die Diagonale praktisch 2 mal 12 gleich 24 Einheiten … Kann man diesen Prozess weiterführen? Ja, und man gewinnt eine hübsche Zahlsäule, welche die Diagonale immer genauer bestimmt:

 

   1     1     2

      2     3     4

         5     7    10

           12    17    24

              29    41    58

                 70    99   140

                   ...   ...   ...

Eine ägyptische Königselle misst 7 Handbreiten. Wenn die Seite eines Quadrates 10 Ellen oder 70 Handbreiten misst, so beträgt die Diagonale praktisch 99 Handbreiten oder 14 Ellen 1 Handbreite. Die Königselle der Cheops-Pyramide misst 52,35 oder 52,36 cm, bei dieser Elle beträgt der Fehler der Diagonale weniger als 0,04 mm.

 

Die obige Zahlsäule bietet viele Näherungswerte an, die ein Rechnen mit ganzen Zahlen erlauben, wobei sich die Fehler – ein Wert ein wenig zu klein, der andere ein wenig zu gross – erstaunlich gut aufheben, gegenseitig eliminieren.

 

Die Seite eines Quadrates messe, sagen wir, 137 Ellen, eine zufällige Zahl, die ich mir gerade einfiel. Wie lang ist die Diagonale? Wir können 137 als Summe von vorderen und mittleren Zahlen der Säule schreiben, dann die entsprechenden Partner dieser Zahlen aufaddieren und erhalten so einen guten Wert für die Diagonale. Hier ein paar Beispiele:

 

  137 = 99 + 29 + 7 + 2

       140 + 41 +10 + 3 = 194

 

  137 = 70 + 41 + 17 + 5 + 2 + 2

        99 + 58 + 24 + 7 + 3 + 3 = 194

 

  137 = 70 + 70 – 3

        99 + 99 – 4 = 194

 

Misst die Seite eines grossen Quiadrates 137 Ellen, so die Diagonale praktisch 194 Ellen, Fehler etwas mehr als 13 cm auf über 101 Meter. Will man ein genaueres Resultat so rechnet man mit Handbreiten. 137 Ellen sind 959 Handbreiten:

 

   959 = 6x99 + 5x70 + 12 + 3

      6x140 + 5x99 + 17 + 4 = 1356

 

Die Diagonale misst genauer 1'356 Handbreiten, oder 193 Handbreiten 5 Handbreiten, und der Fehler beträgt nur noch etwas weniger als 2 cm auf über 101 m. Will man ein noch genaueres Ergebnis, so rechnet man mit Fingerbreiten: 1 Königselle zählt 7 Handbreiten oder 28 Fingerbreiten. Für die Rechnung verwendet man dann aber mit Vorteil einen Abakus oder sonst eine Hilfe.

 

Während die Ägypter für die ganzen Zahlen ein dezimales System verwendeten, rechneten die Mesopotamier mit hexagesimalen Zahlen, das heisst anstelle der Zahl 10 verwendeten sie die Zahl 60 als Basis für die ganzen Zahlen wie auch für die Brüche. Die Länge der Diagonale eines Quadrates berechneten sie mit dem Wert 1;24, das heisst 1 plus 24/60, oder 60/60 + 24/60 = 84/60 = 17/12. Die Zahlen 12 und 17 finden sich in der obigen Zahlsäule. Neben dem einfachen Wert 1;24 verwendeten die Babylonier auch noch einen exzellenten Wert, den sie auf dem Tontäfelchen YCB 7289 festhielten, um 1'650 vor Christus, nämlich 1;24,51,10 oder, umgerechnet, 1 plus 24/60 plus 51/3600 plus 10/216000 = 1,414219… Dieser Wert ist nahe beim richtigen Wert 1,414213… Wie fanden die Mesopotamier diesen ausgezeichneten Wert für das Verhältnis Diagonale / Seite im Quadrate, oder einfach für die Wurzel 2? Sie taten es wohl mithilfe der obigen Zahlsäule, die sie ein wenig weiterführten:

 

                   169   239   338

                      408   577   816

                         985  1393  1970

 

Teilt man 1393 durch 985 so erhält man im babylonischen System 1;24,51,10,3,2,,,, Lässt man die kleinen Zahlen am Ende weg so bleibt der Wert 1;24,51,10.

 

Die Zahlsäule für die Approximation (schrittweise Annäherung) der Wurzel 2 erlaubt sowohl die Berechnung des Quadrates als auch jene des gleichseitigen Oktagons (Achteck). Den Würfel, das gleichseitige Dreieck und das Hexagon (gleichseitiges Sechseck) berechnet man mithilfe einer analogen Zahlsäule. Die Summe zweier Zahlen ergibt die Zahl darunter, die letzte Zahl einer Zeile ist das Dreifache der ersten Zahl, bisweilen kann man alle Zahlen einer Zeile halbieren:

 

  1       1       3

      2       4       6

      1       2       3

          3       5       9

              8      14      24

              4       7      12

                 11      19      33

                     30      52      90

                     15      26      45

                         41      71     123

                            112     194     336

                             56      97     168

            (Archimedes)        153     265     459

                                    418     724    1254

                                    209     362     627

                                        571     989    1713

                                           1560    2702    ....

                        (Archimedes)        780    1351    ....

 

Die Kante eines Würfels messe 10 Ellen oder 70 Handbreiten oder 280 Fingerbreiten (oder Finger). Wie lang ist die Diagonale? Die Diagonale einer Würfelfläche misst praktisch 99 Handbreiten, oder 14 Ellen 1 Handbreite, wie oben gezeigt, während die räumliche Diagonale des Würfels so berechnet werden kann, wieder mit ganzen Zahlen, von 280 Fingerbreiten ausgehend:

 

  280 = 265 + 11 + 4

        459 + 19 + 7 = 485

 

  280 = 153 + 71 + 56

        265 +123 + 97 = 485

 

Die räumliche Diagonale misst praktisch 485 Fingerbreiten, oder 17 Ellen 2 Handbreiten 1 Fingerbreite, Fehler weniger als ein halber Millimeter.

 

Archimedes verwendete für seine Kreisberechnung zwei Werte für die Wurzel 3, nämlich 265/153 und 1351/780. Die Mathematikhistoriker fragen, wie er diese Werte fand. Er könnte sie der obigen Zahlsäule für die Approximation der Wurzel 3 entnommen haben.

 

Wie lang ist die Diagonale eines Doppelquadrates? Man kann sie mit einer weiteren Zahlsülue berechnen, wobei die Summe zweier Zahlen wieder die Zahl darunter ergibt, aber diesmal ist die erste Zahl einer Zeile mit 5 zu multiplizieren um die letzte Zahl derselben Zeile zu erhalten. Diese Zahlsäule erlaubt periodisches Halbieren und zweimaliges Halbieren aller Zahlen einer Zeile. Als nette Überraschung finden sich in dieser Zahlsäule die nach Fibonacci und Lucas benannten ‚goldenen’ Zahlreihen 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 .. und 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 …, welche die Zahlen des Goldenen Schnittes 1,6180339… und 0,6180339… annähern, während die benachbarten Zahlen der schrägen Säule die Wurzel 5 approximieren:

 

   1       1       5

      2       6      10

      1       3       5

          4       8      20

          2       4      10

          1       2       5

              3       7      15

                 10      22      50

                  5      11      25

                     16      36      80

                      8      18      40

                      4       9      20

                         13      29      65

                             42      94     210

                             21      47     105

                                 68     152     340

                                 34      76     170

                                 17      38      85

                                     55     123     275

                                        178     398     890

                                         89     199     445

                                            288     644    1440

                                            144     322     720

                                             72     161     360

 

Die Quadratwurzel aus 4 ist 2. Das behaupten die Schulbücher. Aber stimmt es auch? Prüfen wir es mit einer Zahlsäule:

 

   1     1     4

      2     5     8

         7    13    28

           20    41    80

              61   121   244

                182   365   728

 

Die Mittelzahlen sind 1 statt 2, dann 5 statt 4, dann 13 statt 14, dann 41 statt 40, dann 121 statt 122, dann 365 statt 364 … Der absolute Fehler ist immer 1, während der relative Fehler kleiner und kleiner wird, und wenn wir immer weiter gehen, nähert sich das Verhältnis der benachbarten Zahlen mehr und mehr der 2 an, also ist 2 die Wurzel von 4. Einfacher bekommt man das Resultat wenn man mit der Zeile 1 2 4 beginnt:

 

   1     2     4

      3     6    12

      1     2     4

         3     6    12

         1     2     4

 

Die Bewohner einer griechischen Stadt sahen sich von einer Seuche bedroht. Ein Gott sagte ihnen, sie würden gerettet, wenn sie einen Weg fänden, den Altar zu verdoppeln, das heisst sein Volumen bei gleichbleineder Form. Wie macht man das? Wenn man die Seite eines Würfels verdoppelt, so hat der neue Würfel das achtfache Volumen. Die ägyptische Lösung für das Problem ist eine weitere Zahlsäule mit vier anstelle von drei Spalten die aber wieder den Faktor 2 verwendet:

 

     1       1       1       2

         2       2       3       4

             4       5       7       8

                 9      12      15      18

                 3       4       5       6

 

     3       4       5       6

         7       9      11      14

            16      20      25      32

                36      45      57      72

                12      15      19      36

 

    12      15      19      24

        27      34      43      54

            61      77      97     122

               138     174     219     276

                46      58      73      92

 

    46      58      73      92

       104     131     165     208

           235     296     373     470

               531     669     843    1062

               177     223     281     354

 

   177     223     281     354

       400     504     635     800

 

Die Zahlen 400 und 504 offerieren ein gutes Verhältnis, nämlich 504/400 = 63/50. Beträgt die Kante eines Würfels 50 Einheiten, so misst jene des Würfels vom doppelten Volumen praktisch 63 Einheiten. Man kann jedes Volumen verdoppeln, indem man sämtliche linearen Masse mit diesem Faktor multipliziert. Und wenn man die Zahlsäule weiterführt, kann man jede beliebige Genauigkeit erreichen.

 

Will man die Wurzel aus den Zahlen 6 und 10 berechnen, so kombiniert man im ersten Fall die Zahlsäulen für die Wurzeln 2 und 3, im zweiten Fall jene für die Wurzeln 2 und 5. Was tun wir im Fall der Wurzel 7 oder 11? Hier versagen die Zahlsäulen, sie kommen nur langsam voran während die Zahlen rasch sehr gross werden. Doch die Zahlsäulen geben das Prinzip vor, wie wir jede Wurzel approximieren können: indem wir Spiegelwerte bilden. Beginnen wir mit 1 und 7. Wählen wir eine Zahl dazwischen, sagen wir 3. Dann haben wir die drei Zahlen 1 3 7 und die Spiegelwerte 3/1 und 7/3, welche, miteinander multipliziert, 7 ergeben. Wenn wir die Spiegelwerte addieren und halbieren, bekommen wir im vorliegenden Fall 8/3. Der Spiegelwert dazu ist 21/8, denn 8/3 mal 21/8 gibt 7. Der Mittelwert von 8/3 und 21/8 ist 127/48, schon ein recht guter Näherungswert an die Wurzel 7.

 

Die erste Zahlsäule, die ich 1979 bei meiner Untersuchung der Geometrie des Letzten Abendmahles von Leonardo da Vinci fand, erlaubt noch einen weiteren Einstieg in die höhere Mathematik, denn sie hat ein exaktes Äquivalent im Kettenbruch für die Wurzel 2, geschrieben als [1;2,2,2,2,2…].

 

key figure 1 / key figure 2 / polygon 1 / polygon 2 / polygon 3 / polygon 4 / polygon 5 // polygon a / polygon b / polygon c / polygon d

 

 

Als Nächstes wollen wir den Kreis angehen. Die Schulbücher sagen, dass Archimedes die erste systematische Kreisberechnung vornahm, doch meine Studien der Cheops-Pyramide zeigen, dass der Kreis schon lange vor Archimedes berechnet worden war, und zwar mit einem systematischen Verfahren das auf dem sogenannten Heiligen Dreieck 3-4-5 basiert. Jean-Philippe Lauer, der siebzig Jahre seines langen Lebens dem Wiederaufbau des Tempelbezirks der Djoser-Pyramide in Saqqara widmete, fand ein solches Heiliges Dreieck in der sogenannten Königskammer der Cheops-Pyramide: die Diagonale der Stirnwand misst 3x5 = 15 Ellen, die Länge 4x5 = 20 Ellen, die Raumdiagonale 5x25 Ellen, Heiliges Dreieck 15-20-25 oder 5 mal 3-4-5 Königsellen.

 

Die Breite der Königskammer misst 10 Ellen. Dies ist das Ausgangsmass für die ägyptische Kreisberechnung. Man stelle sich ein Quadrat der Seitenlänge 10 mal 10 Ellen vor. Die Diagonale misst praktisch 99 Handbreiten, wie oben berechnet. Nun zeichne man das Gitter 10 mal 10 Einheiten. Jedes Quadrat misst eine mal eine Elle. Dann zeichne man einen Kreis in das Quadrat. Sein Radius beträgt 5 Ellen, sein Durchmesser 10 Ellen. Sein Umfang passiert die Enden der waagrechten und senkrechten Achse, überdies acht innere Punkte, welche vom Tripel 3-4-5 definiert werden:

 

          . . . . . d . . . . .

          . . e . . . . . c . .

          . f . . . . . . . b .

          . . . . . . . . . . .

          . . . . . . . . . . .

          g . . . . + . . . . a

          . . . . . . . . . . .

          . . . . . . . . . . .

          . h . . . . . . . l .

          . . i . . . . . k . .

          . . . . . j . . . . .

 

Die Kreispunkte a b c d e d g h i j k l sind mathematisch definiert. Die kurzen Kreisbogen b-c und e-f und h-i und k-l messen je praktisch 40 Fingerbreiten, die längeren Kreisbogen a-b und c-e und d-e und f-g und g-h und i-j und j-k und l-a je praktisch 90 Fingerbreiten. Für den Kreisumfang erhalten wir 4x40 plus 8x90 gleich 880 Fingerbreiten oder 220 Handbreiten. Teilen wir den Umfang durch den Durchmesser 10 Königsellen oder 70 Handbreiten, so bekommen wir 220/70 = 22/7, den ‚archimedischen’ Wert für die Kreiszahl Pi.

 

Wenn wir die Kreispunkte a b c d e f g h i j k l a mit Geraden verbinden, erhalten wir ein Polygon von 4 kurzen und 8 längeren Seiten. Ihre Längen betragen Wurzel 2 und Wurzel 10 gleich Wurzel 2 mal Wurzel 5. Diese Wurzeln können wir mit den obigen Zahlsäulen berechnen. Dabei wollen wir eine wichtige Überlegung anstellen. Die Kreisbogen sind ein ganz wenig länger als die Seiten des Polygons. Dies können wir ausgleichen, indem wir Werte für die Wurzeln 2 und 5 verwenden, die etwas grösser sind als die exakten Werte, zum Beispiel 10/7 für die Wurzel 2, und 9/4 für die Wurzel 5

 

   10/7 mal 10/7 gleich 100/49 – ein wenig mehr als 2

 

   9/4 mal 9/4 gleich 81/16 – ein wenig mehr als 5

 

Eine kurze Seite misst Wurzel 2 Ellen, ein klein wenig mehr, 10/7 Ellen. Eine lange Seite misst Wurzel 10 Ellen, Wurzel 2 mal Wurzel 5 Ellen, ein klein wenig mehr, 10/7 mal 9/4 Ellen. Für den Umfang bekommen wir 4 mal 10/7 Ellen plus 8 mal 10/7 mal 9/4 Ellen gleich 220/7 Ellen oder 220 Handbreiten, und teilen wir diesen Umfang durch den Durchmesser 10 Ellen oder 70 Handbreiten so erhalten wir nocheinmal 220/70 = 22/7 für Pi.

 

Nun kann man das Gitter verfeinern, von 10 mal 10 auf 50 mal 50 kleinere Einheiten. Der einbeschriebene Kreis passiert wieder die Enden der waagrechten und senkrechten Achse, überdies 8 Punkte welche vom Tripel 5 mal 3-4-5 gleich 15-20-25 determiniert werden, zudem vier weitere Punkte welche vom neuen Tripel 7-24-25 markiert werden. Damit haben wir 4 plus 8 plus 8 gleich 20 Kreispunkte. Wenn wir das Polygon mit den Werten 17/12 für die Wurzel 2 und 9/4 für die Wurzel 5 berechnen, so erhalten wir 157/50 für Pi.

 

Mit jeder Verfeinerung des Gitters um den Faktor 5 kommt ein weiteres Tripel hinzu:

 

  3-4-5  or  15-20-25  or  75-100-125  or  375-500-625  ...

              7-24-25  or  35-120-125  or  175-600-625  ...

                           44-117-125  or  220-585-625  ...

                                           336-527-625  ...

 

Kennt man ein Tripel a-b-c und möchte man das nächste Tripel haben, so berechne man die folgenden Terme

 

   4a plus/minus 3b     4b plus/minus 3a     5c

 

und wähle für die ersten beiden Terme die positiven Werte die nicht durch 5 teilbar sind. Die Polygone haben 12 20 28 36 44 52 60 68 76 84 92 100 … Seiten. Die Seiten haben zwei oder drei unterschiedliche Längen und sind Einfache, Mehrfache oder Vielfache der Wurzeln 2 und 5 und 2x5. Damit haben wir ein systematisches Verfahren der Kreisberechnung, das beliebig genaue Werte liefert.

 

key figure 1 / key figure 2 / polygon 1 / polygon 2 / polygon 3 / polygon 4 / polygon 5 // polygon a / polygon b / polygon c / polygon d

 

Allerdings wird die Berechnung mühsam, weil die Zahlen gross werden, die Verbesserungen klein und kleiner. Aber die ersten Werte liefern schon das Material für eine clevere Methode, welche viele praktische Werte liefert, ähnlich den Zahlsäulen. Die Kreiszahl ist kleiner als 4 aber ein wenig grösser als 3. Man beginne mit 4/1 und addiere mehrmals 3/1 in der Weise, die in der Schule verboten ist:

 

   4/1  (plus 3/1)  7/2  10/3  13/4  16/5  19/6  22/7  25/8  28/9

 

In dieser Folge findet sich der Wert 22/7. Man beginne eine neue Folge mit dem Wert 3/1 und addiere fortlaufend 22/7:

 

   3/1  (plus 22/7)  25/8  47/15  69/22  91/29  113/36  135/43  157/50  179/57  201/64 

 

   223/71  245/78  267/85  289/92  311/99  333/106  355/113  377/120  399/127  421/134

 

   … 1521/484 = 39x39 / 22x22

 

In dieser Folge findet sich der Wert 157/50, den wir oben mit dem zweiten Polygon im Gitter 50 mal 50 berechnet haben. Lösen wir eine Aufgabe mit dieser Folge. Ein Quadrat messe 10 mal 10 Königsellen oder 70 mal 70 Handbreiten oder 280 mal 280 Fingerbreiten. Man umschreibe diesem Quadrat einen Kreis. Wie lang ist der Umfang des Kreises? Der Durchmesser ist gegeben von der Diagonale des Quadrates. Die Seite misst 70 Handbreiten, die Diagonale 99 Handbreiten, gemäss der Zeile 70 99 140 aus der ersten Zahlsäule. Und wenn der Durchmesser eines Kreises 99 Handbreiten misst, so der Umfang gemäss der obigen Pi-Folge 311 Handbreiten (311/99). Der Fehler beträgt weniger als einen Siebtel Millimeter auf über dreiundzwanzig Meter! Die Fehler der beiden Näherungswerte heben sich gegenseitig auf, bis auf einen winzigen Rest.

 

Dank den Zahlsäulen und den Pi-Folgen kann man schwierige Rechnungen ganz einfach ausführen, mit ganzen Zahlen operieren und doch ein gutes oder gar sehr gutes Ergebnis erwarten. Es gibt weitere solche Pi-Folgen, zum Beispiel diese:

 

  6/2  (plus 22/7)  44/9  66/16  88/23  …  600/191

 

Hat ein Zylinder einen Umfang von 600 Einheiten, so beträgt der Durchmesser 191 Einheiten.

 

   9/3  (plus 19/6)  28/9  47/15  66/22  85/28  …  256/81 = 16x16/9x9

 

Eine berühmte Formel aus dem Mathematischen Papyrus Rhind besagt, dass ein Quadrat der Seitenlänge 8 und ein Kreis vom Durchmesser 9 praktisch dieselbe Fläche haben. Der implizite Pi-Wert dieser Formel ist 256/81. Es gibt eine hübsche Erweiterung dieser Formel auf drei Dimensionen in Aufgabe 59 desselben Papyrus. Eine kleine Pyramide hat eine Basis von 12 Ellen und eine Höhe von 8 Ellen. Die Höhen der Seitenflächen messen genau 10 Ellen, gemäss dem Heiligen Dreieck 3-4-5. Auch die Chefren-Pyramide ist vom Heiligen Dreieck 3-4-5 bestimmt, Basis 411 Ellen, Höhe 274 Ellen, halbe Basis 3x68,5 Ellen, Höhe 4x68,5 Ellen, Höhen der Seitenflächen 5x68,5 Ellen. Aber zurück zur kleinen Pyramide von der Basis 12 Ellen und der Höhe 8 Ellen. Man verwandle ihr Volumen in eine Kugel. Verwendet man den Wert 256/81 für Pi so beträgt der Kugeldurchmesser 9 Ellen.

 

   Ein Quadrat der Seitenlänge 8 Einheiten und ein Kreis vom Durchmesser 9 Einheiten

   haben praktisch dieselbe Fläche

 

   Eine „Heilige Pyramide“ der Höhe 8 Einheiten und eine Kugel vom Durchmesser

   9 Einheiten haben praktisch dasselbe Volumen

 

Der Papyrus Rhind bleibt stumm, wenn man von der griechischen Geometrie herkommt, aber beginnt zu sprechen und enthüllt seine Wunder, wenn man ihn im Licht der obigen einfachen Verfahren studiert. Es braucht viel Phantasie dazu, und ein Verständnis für das Konzept einer frühen Zeit welche nur wenig Platz hatte, um alles zu sagen, daher eine sehr dichte Notation verwendete, was im Fall des Papyrus Rhind bedeutet, dass dieselben Aufgaben auf mehreren Stufen des Lernens angegangen werden können – dieselben Aufgaben dienen dem Unterichten von Primarschülern, Gymnasiasten und Studenten, sozusagen. Als Beispiel die Aufgabe 32. Ahmes führt eine Division mit Stammbrüchen aus. Er teilt 2 durch 1 1/3 1/4 und bekommt 1 1/6 1/12 1/114 1/228. In meiner einfachen Notation:

 

   2  geteilt durch  1 ’3 ’4  gibt  1 ’6 ’12 ’114 ’228

 

Anfänger lernen das Rechnen mit Stammbrüchen, während Fortgeschrittene am Beispiel derselben Aufgabe ein anspruchsvolles Problem angehen mögen. Ein Quader messe 2 mal 1 ’3 ’4 mal ’6 ’12 ’14 ’228 Einheiten. Wie lang sind die räumlichen Diagonalen? Ganz einfach, sie messen

 

   1 ’3 ’4  plus  1 ’6 ’12 ’114 ’228  Einheiten

 

   1 1  plus  ’3 ’6  plus ’4 ’12  plus ’114 ’228  Einheiten

 

   2  plus  ’2  plus  ’3  plus  ’76  Einheiten

 

Die räumlichen Diagonalen des Quaders messen genau 2 ’2  ’3  ’76  Einheiten.

 

Man teile 2 duch eine Zahl A und erhält B. Ein Quader messe 2 mal A mal B Einheiten. Das Volumen beträgt 2AB Kubikeinheiten, die räumliche Diagonale genau A plus B Einheiten. Dieses Theorem kann man zum Berechnen und Ausmessen von quaderförmigen Speichern verwenden, wie es auch im Papyrus Rhind geschieht (mehr im Aufgabenteil).

 

Die ägyptischen Stammbrüche gelten als mühsam, und sind es auch, wenn wir auf unsere Art mit ihnen arbeiten wollen. Doch sie sind wunderbare Instrumente im Licht der ägyptischen Methoden. Als Beispiel möchte ich eine Rechnung aus dem Jahr 1996 anführen. Wesir Milo (zu Ehren von Milo Gardner, der mich in das Rechnen mit Stammbrüchen einführte) sparte 68'954 ägyptische Dollar (eine frei erfundene Zahl) und bringt sie auf die Bank von Amarna. Diese gewährt einen Zins von ’101 ’202 ’303 ’606 oder knapp zwei Prozent. Wie vermehrt sich das Vermögen im Lauf der Jahre? Man gehe so vor. Man multipliziere das Vermögen mit den Brüchen, runde die Zwischenergebnisse, und addiere sie:

 

Jahr 1   Vermögen  68’954   Zins  683 341 228 114  =  1’366

Jahr 2   Vermögen  70’320   Zins  696 348 232 116  =  1’392

Jahr 3   Vermögen  71’712   Zins  710 355 237 118  =  1'420

Jahr 4   Vermögen  73’132   Zins  724 362 241 121  =  1’448

Jahr 5   Vermögen  74’580   Zins  738 369 246 123  =  1’476

 

Jahr 6   Vermögen  76’056   Zins  753 377 251 126  =  1’507

Jahr 7   Vermögen  77’563   Zins  768 384 256 128  =  1’536

Jahr 8   Vermögen  79’099   Zins  783 392 261 131  =  1’567

Jahr 9   Vermögen  80’666   Zins  799 399 266 133  =  1’597

Jahr 10  Vermögen  82’263   Zins  814 407 271 136  =  1’628

 

Jahr 11  Vermögen  83’891   Zins  831 415 277 138  =  1’661

Jahr 12  Vermögen  85’552   Zins  847 424 282 141  =  1’694

Jahr 13  Vermögen  87’246   Zins  864 432 288 144  =  1’728

Jahr 14  Vermögen  88’974   Zins  881 440 294 147  =  1’762

 

JAHR 15  VERMÖGEN  90’736 DOLLAR 

 

Wenn wir alle Zahlen runden, so beträgt das Vermögen von Wesir Milo im Jahr 15 der Einlage bei der Bank von Amarna 90'736 Dollar. Wie hoch wäre das Vermögen bei genauer Berechnung mit modernen Methoden? 90'736,365… Dollar. Der Fehler der altägyptischen Methode des ganzen Zahlen, alle Ergebnisse gerundet, beträgt nicht einmal ein halben Dollar!

 

Stammbrüche haben eine eigene Schönheit an sich. Im Kapitel über den ägyptischen Kalender beziehungsweise die Augen des Horus-Falkens habe ich die Reihe des Horus-Auges erwähnt, nämlich ’2 ’4 ’8 ’16 ’32 ’64. Wir können diese Reihe als Treppe entwickeln:

 

   1 = ’1

   1 = ’2 ’2

   1 = ’2 ’4 ’4

   1 = ’2 ’4 ’8 ’8

   1 = ’2 ’4 ’8 ’16 ’16

   1 = ’2 ’4 ’8 ’16 ’32 ’32

   1 = ’2 ’4 ’8 ’16 ’32 ’64 ’64

 

Es gibt eine analoge Treppe, die alle Zahlen einbezieht:

 

   1 = ’1

   1 = ’1x2 ’2

   1 = ’1x2 ’2x3 ’3

   1 = ’1x2 ’2x3 ’3x4 ’4

   1 = ’1x2 ’2x3 ’3x4 ’4x5 ’5

   1 = ’1x2 ’2x3 ’3x4 ’4x5 ’5x6 ’6

   1 = ’1x2 ’2x3 ’3x4 ’4x5 ’5x6 ’6x7 ’7

 

Wie immer in der Mathematik gelangt man auch hier rasch in höhere Sphären. Die Teilreihe ’1x2 ’2x3 ’5x6 ’6x7 ’9x10 ’10x11 … ist ein Viertel von Pi. Mit ein paar Umformungen erhält man diese Treppen für Pi:

 

   8 mal ’1x3 ’16

   8 mal ’1x3 ’5x7 ’32

   8 mal ’1x3 ’5x7 ’9x11 ’48

   8 mal ’1x3 ’5x7 ’9x11 ’13x15 ’64

   8 mal ’1x3 ’5x7 ’9x11 ’13x15 ’17x19 ’80

 

   4 minus 8 mal ’3x5 ’24

   4 minus 8 mal ’3x5 ’7x9 ’40

   4 minus 8 mal ’3x5 ’7x9 ’11x13 ’56

   4 minus 8 mal ’3x5 ’7x9 ’11x13 ’15x17 ’72

   4 minus 8 mal ’3x5 ’7x9 ’11x13 ’15x17 ’19x21 ’88

 

Die obere Treppe approximiert Pi von oben her, die untere Treppe von unten her. Beide Treppen kann man ins Unendliche fortführen. Die fünfte Zeile der oberen Treppe ergibt 3,141839…, die fünfte Zeile der unteren Treppe 3,141406…, und der Mittelwert 3,141623…, schon ein sehr guter Wert für Pi = 3,141592…

 

Die Frage nach der Summe der inversen Quadratzahlen beschäftigte viele Mathematiker. Sie wurde dann von Leonhard Euler auf überraschende Weise gelöst: die Summe ist ein Sechstel von Pi im Quadrat. Eine ganz unerwartete Lösung, welche ihn zu seiner Zeta-Funktion führte, die im komplexen Raum eine grosse Rolle für die Primzahlen spielt. Euler könnte sein Ergebnis auch mit einer Zahlentreppe gefunden haben. Man lese ’1x1 als 1/1 oder 1 und ’2x2 als 1/2x2 oder 1/4 und ’3x3 als 1/3x3 oder 1/9 und ’’1 als 2/1 oder 2 und ’’3 als 2/3 und ’’5 als 2/5 etc.:

 

   ’’1

   ’1x1 ’’3

   ’1x1 ’2x2 ’’5

   ’1x1 ’2x2 ’3x3 ’’7

   ’1x1 ’2x2 ’3x3 ’4x4 ’’9

   ’1x1 ’2x2 ’3x3 ’4x4 ’5x5 ’’11

   ’1x1 ’2x2 ’3x3 ’4x4 ’5x5 ’6x6 ’’13

   ’1x1 ’2x2 ’3x3 ’4x4 ’5x5 ’6x6 ’7x7 ’’15

 

Ein paar weitere Reihen und Zahlentreppen für interessierte Leser und Leserinnen:

 

   ’1x2 ’2x3 ’3x4 ’4x5 ’5x6 ’6x7 … = 1

 

   ’1x3 ’3x5 ’5x7 ’7x9 ’9x11 ’11x13 … = ’2

 

   ’1x4 ’4x7 ’7x10 ’10x13 ’13x16 ’16x19 … = ’3

 

Alle diese Reihen liessen sich als Treppen darstellen, während die Teilreihen aus den ungeraden Termen interessante Zahlen approximieren, die erste den natürlichen Logarithmus von 2, die nächste einen Achtel von Pi, während ich die dritte leider nicht identifizieren kann – schön wäre es, wenn sie eine Rolle für die Theorie der Primzahlen spielen würde:

 

   ’1x2 ’3x4 ’5x6 … = ln2

 

   ’1x3 ’3x5 ’5x7 … = Pi/8

 

   ’1x4 ’7x10 ’13x16 … = ???

 

Dieselben Reihen als Treppen:

 

   ’1x2 ’2x2

   ’1x2 ’3x4 ’4x2

   ’1x2 ’3x4 ’5x6 ’6x2

   ’1x2 ’3x4 ’5x6 ’7x8 ’8x2

 

   1 minus ’1x2

   1 minus ’2x3 ’3x2

   1 minus ’2x3 ’4x5 ’5x2

   1 minus ’2x3 ’4x5 ’6x7 ’7x2

   1 minus ’2x3 ’4x5 ’6x7 ’8x9 ’9x2

 

   ’1x3 ’4x4

   ’1x3 ’5x7 ’8x4

   ’1x3 ’5x7 ’9x11 ’12x4

   ’1x3 ’5x7 ’9x11 ’13x15 ’16x4

 

   ’2 minus ’2x4

   ’2 minus ’3x5 ’6x4

   ’2 minus ’3x5 ’7x9 ’10x4

   ’2 minus ’3x5 ’7x9 ’11x13 ’14x4

   ’2 minus ’3x5 ’7x9 ’11x13 ’15x17 ’18x4

 

   ’1x4 ’6x6

   ’1x4 ’7x10 ’12x6

   ’1x4 ’7x10 ’13x16 ’18x6

   ’1x4 ’7x10 ’13x16 ’19x22 ’24x6

 

   ’3 minus ’3x6

   ’3 minus ’4x7 ’9x6

   ’3 minus ’4x7 ’10x13 ’15x6

   ’3 minus ’4x7 ’10x13 ’16x19 ’21x6

   ’3 minus ’4x7 ’10x13 ’16x19 ’22x25 ’27x6

 

Menschen welche die Mathematik lieben sind angetan von der Schönheit von Mustern.

 

 

Die Sonnenkammer  (Pyramiden)

 

Die Pyramidentexte erwähnen einen geheimnisvollen schwankenden Himmelskanal, den Rolf Krauss mit dem Band der Ekliptik identifizierte. Das ist der scheinbare Streifen, in dem sich Sonne, Mond und Planeten bewegen, nach altägyptischem Glauben ein himmlischer Kanal, den die Gottheiten der Sonne, des Mondes und der Planeten in ihren jeweiligen Barken befuhren. Die Knickpyramide von Dahschur Nord und die Rote Pyramide von Daschur Süd, beide König Snofru gehörend, symbolisieren meiner Meinung nach den Hafen des himmlischen Kanals, in welchem die Seele des zum Gott erhobenen Königs in die Barke des Sonnengottes Ra einstieg und sich auf seine himmlische Reise begab …

 

Ich will hier zwei Pyramiden näher betrachten, die Rote Pyramide von Dahschur Süd, König Snofru gehörend, und die Grosse Pyramide, Cheops gehörend, einem Sohn von Snofru. Die beiden Pyramiden stammen meiner Meinung nach von Hemon, einem Prinzen aus der Verwandtschaft von Snofru und Cheops. Beide Pyramiden weisen sehr interessante Zahlen auf, die mit der altägyptischen Symbolik einhergehen.

 

Die Rote Pyramide hat eine Basis von 420 Ellen und eine Höhe von 200 Ellen (Rainer Stadelmann). Damit beträgt die schräge Höhe einer Seitenfläche genau 290 Ellen, gemäss dem Tripel 20-21-29. Wie lang sind die Diagonalen der Basis? Praktisch 594 Ellen, gemäss den Zahlen 70 und 99 aus der Zahlsäule für die Wurzel 2. Wie lang sind die schrägen Kanten der Pyramide? Praktisch 358 Ellen. Man denke sich eine Kugel in der hohlen Pyramidenhülle. Sie liege auf der Basis auf und berühre die vier schrägen Seitenflächen. Wie lang ist ihr Radius? Genau 84 Ellen. Die Mitte der imaginären Kugel wäre 84 Ellen oder rund 44 Meter über der Pyramidenbasis. Wenn sich eine geheime Kammer in der Pyramide befinden sollte, so wohl an dieser Stelle, während die imaginäre Kugel den zum Sonnengott erhobenen König symbolisiert, aber auch die Sonne, welche einst im Urhügel eingeschlossen war.

 

Die Cheops-Pyramide hatte eine Basis von 440 Ellen und eine Höhe von 280 Ellen. An der Basis befindet sich ein Hügel aus gewachsenem Kalkstein, der vielleicht bis einen Drittel des Pyramidenvolumens ausmacht (Rainer Stadelmann). Dieser Hügel dürfte den Erdgott Geb repräsentieren, während eine imaginäre Halbkugel in der als Hülle gedachten Pyramide seine Gemahlin Nut symbolisiert, welche sich über die Erde beugt, mit ihren Füssen auf dem einen Horizont stehend, sich mit ihren Händen auf den anderen Horizont stützend. Der Zenit der imaginären Halbkugel wäre der Schoss der Himmelsgöttin, in welchem das Sonnenkind heranwächst, das wäre der zum Gott erhobene König. Er verlässt seine Pyramide als Sonnengott Ra, in Form eines grossen, auch wieder imaginären Kreises, nämlich desjenigen Kreises, welcher die Pyramidenhöhe zum senkrechten Durchmesser hat …

 

Wenn wir von 22/7 oder 3 ’7 für Pi ausgehen, so hat der grosse Kreis vom Durchmesser der Pyramidenhöhe, 280 Ellen, dieselbe Fläche wie der Pyramidenquerschnitt von der Basis 440 Ellen und der Höhe 280 Ellen. Das symbolisiert die Verwandlung des Königs, der nach altägyptischem Glauben in seinem Bauwerk zugegen war, in den Kreis des Sonnengottes Ra.

 

Die imaginäre Halbkugel von Nut symbolisiert den Himmel, der einst auch im Urhügel einbeschlossen war. Der Radius beträgt 173 Ellen gemäss der goldenen Folge 9 16 25 41 66 107 173 280 … Sollte sich in der Cheops-Pyramide eine geheime Kammer verbergen, so wäre es die Sonnenkammer auf dem Zenit der imaginären Halbkugel, in einer Höhe von 173 Ellen oder rund 90,6 m über der Basis.

 

 

Kombinierte Masse

 

Bei der Konzeption der Cheops-Pyramide dürfte Hemon eine clevere Methode verwendet haben, nämlich die Kombination der Königselle von 52,36 cm mit mehreren kürzeren Ellen die rund 30 cm messen und die ich Horus-Ellen nenne, weil sie der Länge eines Turmfalkens von der Spitze des Schnabels bis zum Ende der Schwanzfedern entsprechen. Die wichtigste Horus-Elle ist so definiert:

 

   7 Königsellen  gleich  11 Horus-Ellen

 

    Königselle 52,36 cm  Horus-Elle 33,32 cm

 

Ein Modell der Pyramide hätte diese Masse: Basis eine Königselle, Höhe eine Horus-Elle.

 

Die kombinierten Ellen erlauben einfache Konstruktionen:

 

   Der Durchmesser eines Kreises betrage 1 Horus-Elle,

   der Umfang misst praktisch 2 Königsellen,

   die Fläche misst praktisch 2 Horus-Ellen mal 1 Königselle

 

   Die Seite eines Quadrates messe 10 Horus-Ellen,

   die Diagonale misst praktisch 9 Königsellen

 

   Die Seite eines Quadrates messe 9 Königsellen,

   die Diagonale misst praktisch 20 Horus-Ellen

 

   Eine Strecke messe 5 Königsellen,

   der goldene Minor misst praktisch 3 Horus-Ellen

 

Die kombinierten Masse der Königselle und ersten Horus-Elle erlaubten ein bequemes Ausmessen der Pyramidenbasis und des wachsenden Baukörpers, lokaler Kalkstein, oft noch mit Nautilus-Schalen darin, ringsherum eine schmale Rampe aus dem kostbaren, frisch gebrochen blütenweissen Tura-Kalkstein, vier Rampen die von je einer Ecke starteten und sehr sehr flach ansteigend mehrfach um die langsam hochwachsende Pyramide herumführten. Der von den flachen Spiralrampen umschlossene Baukörper sah hübsch aus. Die Steine wurden auf Schlitten gelegt, welche von Ochsen gezogen wurden. Sneferu, der Vater von Cheops, hatte nachweislich 230'000 Ochsen aus Nubien importiert. Als die Pyramide ihre Höhe von beinahe 147 m erreichte, konnte man die Rampen von oben her abtragen und den kostbaren Stein für die zahlreichen Nebengebäude verwenden, Tempel, Temenos-Mauer, Mastabas (Gräber), Nebenpyramiden. Den Mantel der Grossen Pyramide konnte man von oben her polieren. Der Kalksteinhügel innerhalb der Pyramide düfte einen Drittel des Pyramidenvolumens ausmachen (Schätzung Rainer Stadelmann). Der Bau der Pyramide war einfacher und leichter als bisher angenommen, und eine Ehre für jene die daran teilnahmen.

 

 

Unser Meter

 

Im Europa des Ancien Régime vor der französischen Revolution herrschte ein Wirrwar von Massen. Jede Stadt besass ihre eigene Elle, ihren eigenen Fuss. Napoleon wollte diesem Durcheinander ein Ende bereiten. So wurde der Meter eingeführt. Er sollte die Länge des Erdumfangs haben geteilt durch 40'000. Allerdings erwies sich die genaue Vermessung des Erdumfanges anhand einer Teilstrecke als unmöglich, deshalb wurde der Meter auf andere Weise definiert, aber wie das geschah ist nicht bekannt.

 

Napoleon führte einen Feldzug in Ägypten. In seinem Gefolge waren viele grosse Gelehrte, auch Mathematiker, und manche von ihnen waren eigentlich Anhänger des alten Régimes, des früheren französischen Sonnengottes. Diese Gelehrten erforschten die ägyptischen Denkmäler und Bauten, welche Napoleon begeisterten. Einige der Mathematiker dürften wohl die Cheops-Pyramide vermessen haben, so weit sie ihnen zugänglich war, und könnten dabei auf das bestimmende Mass der Königselle von 52,36 cm gekommen sein. Nun stelle man sich einen Kreis vom Umfang 6 Königsellen vor, das wären 314,16 cm. Wie lang ist der Durchmesser? 1,00000233… Meter oder praktisch ein Meter. Sollte dies die geheime Definition unseres Meters sein? hergeleitet von der Pyramide des grössten Sonnenkönigs aller Zeiten? Haben sich ein paar französische Gelehrte mit unserem Meter einen politischen Scherz erlaubt?

 

Misst der Umfang eines Kreises 2 Königsellen, so der Durchmesser praktisch eine der obigen Horus-Ellen. Misst der Umfang 6 Königsellen, so der Durchmesser praktisch 3 Horus-Ellen, dreimal 33,32 cm gleich 99,96 cm, auch praktisch einen Meter.

 

 

Der weise Salomon und Bilqis, Königin von Saba

 

König Salomon schuf ein ehernes Meer, das heisst ein rundes Wasserbecken aus Bronze, dessen Durchmesser 10 Ellen und dessen Umfang 30 Ellen betragen haben soll. Das ergäbe für Pi die Zahl 30/10 = 3. Ein armseliger Wert, unvereinbar mit der angeblichen Klugheit des weisesten Menschen der je gelebt haben soll.

 

Aber vielleicht ging im biblischen Bericht vom weisen König Salomon und seinem ehernen Meer ein kleiner Zusatz verloren? Es könnte sein, dass der König zwei ähnlich bemessene Ellen verwendete, die dann einfach Ellen genannt wurden. Wir wollen sie schwarze Elle und rote Elle nennen und so auseinanderhalten:

 

     schwarze Elle  21 Einheiten        rote Elle  22 Einheiten

 

Damit können wir ähnlich einfache Operationen ausführen wie Hemon mit seiner Königselle und seinen Horus-Ellen:

 

   Wenn der Durchmesser eines Kreises 1 schwarze Elle beträgt,

   so misst der Umfang praktisch 3 rote Ellen

 

   Wenn der Radius eines Kreises eine schwarze Elle beträgt,

   so misst die Fläche praktisch 3 schwarze Ellen mal 1 rote Elle

 

   Wenn der Durchmesser einer Kugel 2 schwarze Ellen beträgt,

   so das Volumen 2 schwarze Ellen mal 2 schwarze Ellen mal 1 rote Elle

 

   Wenn die Seite eines Quadrates 20 schwarze Ellen beträgt,

   so misst die Diagonale praktisch 27 rote Ellen

 

In dieser Sichtweise hätte der Durchmesser des ehernen Meers 10 schwarze Ellen betragen und der Umfang 30 rote Ellen. Der implizite Wert für Pi wäre 30x22 / 10x21 = 660/210 = 22/7 gewesen, der ‚archimedische’ Wert für Pi den wir bereits in der Cheops-Pyramide vorfinden.

 

König Salomon dürfte das blühende vereinigte Königsreich von Israel im der ersten Hälfte des vorchristlichen Millenniums symbolisieren, welches Austausch mit Ägypten pflegte, symbolisiert in der Tochter des Pharaoh, welche Salomon ehelichte, und Austausch mit Yemen, symbolisiert in der legendären Königin von Saba, Bilqis von Marib, welche Salomon besuchte. Marib war eine Oase in der Wüste von Yemen, berühmt für einen sechshundert Meter langen Staudamm und ein geniales Bewässerungssystem. Marib zählte damals 40'000 Einwohner und Einwohnerinnen, während im Rom der Renaissance nur 30'000 Menschen lebten. Die Nabatäer in den Wadis längs dem östlichen Ufer des Roten Meeres bauten viele kurze Staudämme, worin sie die Regenfälle auffingen. Heute verdunsten in Jordanien siebzig Prozent der Regenfälle ungenutzt. 1994 habe ich ein Projekt Saba vorgeschlagen: Junge Leute aus Israel, dem arabischen Raum und dem Westen könnten Teams bilden, welche die alten Bewässerungsanlagen wiederherstellen, und zwar mit modernen Mitteln. Was alles zu machen wäre beweisen die Israeli im Negev, wo sie Bäume in Kuhlen anpflanzen und Dünen mit Maschendraht befestigen. Die Wasserfrage entwickelt sich zum grossen Problem des Nahen Ostens. Meine Studien des Göbekli Tepe zeigen mir, dass Wasserknappheit schon vor zwölftausend Jahren ein Problem war. Die Lösung bestand damals in Kooperation, sie würde auch heute in Kooperation bestehen, nicht in grossen politischen Visionen sondern in praktischen Vorschlägen wie vielleicht dem eben skizzierten Projekt Saba.

 

 

Was ist Mathematik?  (Logik des Bauens und Erhaltens)

 

Als Gymnasiast las ich viel und gerne und oft Bücher die über meinen geistigen Horizont hinausgingen. Dann verstand ich wenig, aber etwas blieb immer hängen. Einmal bekam ich von meiner Mutter auf meinen Wunsch zum Geburtstag ein Taschenbuch über die Logik der Quantendynamik. Ich verstand Bahnhof aber eine Fussnote faszinierte mich, welche besagte, dass die fundamentale Gleichung der Mathematik a = a noch nicht erforscht sei. Ich liebe einfache Fragen mit philosophischem Tiefgang. Einige Jahre später deutete ich die Gleichung a = a folgendermassen: diese Gleichung definiert ideale Dinge, welche alle völlig identisch und also austauschbar sind, während jedes ideale Ding für sich selber auf immer und ewig gleich bleibt. Damit sind diese mathematischen Objekte Ideale der technischen Sphäre, des Herstellens, Bauens, Erhaltens und Reparierens, wie am Beispiel einiger Gleichungen gezeigt werden soll.

 

b = b = b = b = b …   Wenn die Backsteine (b und b und b und b …) gleich sind, alle dieselbe Grösse, Form und Konsistenz aufweisen, gelingt die Mauer

 

b = b   wenn jeder Backstein (b) sich selber gleich bleibt, weder im Regen aufweicht noch in der Sommerhitze springt und bröckelt, so bleibt die Mauer stehen

 

1 = 0,999…   Die Masse einer Tür (0,999…) und des Rahmens (1) müssen übereinstimmen, andernfalls klemmt die Tür, oder es zieht

 

9 = 2 + 3 + 4   Eine Maschine (9) will man in ihre Teile zerlegen (2, 3, 4) um sie zu reinigen oder reparieren, und nachher aus den Teilen wieder vollständig zusammenstellen, damit sie läuft wie neu, fehlerfrei und beständig (9)

 

e = e = e = e = e … Die Physiker suchen nach den perfekten elementarsten Elementarteilchen, welche diese mathematische Gleichung erfüllen

 

Man hat sich oft gewundert, weshalb exotische mathematische Erfindungen über kurz oder lang in der Technologie zur Anwendung gelangen, beispielsweise die imaginäre Zahl i, definiert als Wurzel aus minus Eins, ohne welche kein Radio, kein Fernseher und kein Computer liefe. Für mich ist das kein Geheimnis mehr sondern liegt in der mathematischen Logik selbst begründet, in der Logik des Bauens und Erhaltens.

 

 

Alles ist gleich, alles ungleich …  Goethe

 

In der Mathematik dürfen viele Grenzen überschritten werden, zum Beispiel jene von den positiven zu den negativen und von den negativen zu den imaginären Zahlen – sowohl die negativen als auch die imaginären Zahlen lösten am Beginn Unverständnis und heftige Ablehnung aus, wurden aber wegen ihrer Brauchbarkeit schon bald akzeptiert. Es gibt allerdings ein paar Grenzen, welche auch in der Mathematik auf keinen Fall passiert werden dürfen. Ein Grenzbereich sind zum Beispiel Divisionen mit kleinen Zahlen. Wenn ich 1 durch 1 teile erhalte ich 1. Wenn ich 1 durch 0,1 teile erhalte ich 10. Wenn ich 1 durch 0,000'001 teile erhalte ich 1'000’000. Und so weiter. Je kleiner der Teiler, desto grösser das Ergebnis. Und wenn der Teiler auf Null zustrebt, so erhalten wir eine Zahl, die unendlich gross wird. Oder kurz gesagt: Wenn wir Eins durch Null teilen bekommen wir Unendlich. Das habe ich einmal meinem Mathematiklehrer in einer Schulstunde erklärt, worauf er sagte: Nein, das ist verboten! Ich erwiderte, die Mathematik sei der Inbegriff der Logik und Verbote hätten nichts mit Logik zu tun, worauf er mir seinen grossen eisernen Schlüssel auf den Kopf schlug – nur symbolisch, als Zeichen seines Unwillens, aber ich dachte mir: schöne Logik die einen Eisenschlüssel braucht! Also, liebe Schulkinder, in der Mathematikstunde sind Divisionen durch Null streng verboten.

 

Aber bei mir sind sie erlaubt. Wollen wir sehen, was geschieht wenn wir das Verbotene tun:

 

1 geteilt durch 0 gleich Unendlich / 2 geteilt durch 0 gleich Unendlich

1 mal Unendlich gleich 2 mal Unendlich / 1 gleich 2

 

Wunderbar, wir haben die Mathematik aus den Angeln gehoben! Die fundamentale Gleichung a = a stimmt nicht mehr, es gilt ebenso a ungleich a, und dafür haben wir sogar einen Zeugen, den grossen Goethe welcher diese Formel ausgab: Alles ist gleich, alles ungleich … (Wilhelm Meisters Wanderjahre, Maximen und Reflexionen, Aus Makariens Archiv, am Ende des Romans aber sollte ursprünglich in der Mitte stehen). Ein Apfel ist ein Apfel –– doch der eine Apfel mag ein Golden Delicious sein, der andere eine Berner Rose, der eine gelb, der andere rot. A rose is a rose is a rose  Gertrude Stein –– eine Rose ist eine Rose ist eine Rose, die dreimalige Nennung der Blume evoziert geradezu verschiedene Rosen, eine Knospe, eine blühende Rose, eine welke Blume, die oben genannte Berner Rose ist ein Apfel, dann gibt es die Windrose, und die Mädchennamen Rosa, Rosmarie, Englisch Rose und Rosy. Ein Mensch ist ein Mensch –– wir sind alle gleich und alle anders, mit je besonderen Eigenschaften und Fähigkeiten. Eine Schneeflocke ist eine Schneeflocke –– jede bildet einen sechseckigen Kristall, aber unter dem Mikroskop gesehen formt jede ein eigenes Muster. Ein Elephant ist keine Maus –– aber beide sind Säugetiere und stammen ab von den mausähnlichen Ursäugern, und der nächste lebende Verwandte des Elefanten, der Klippschiefer, gleicht einer grossen Maus mit einem kurzen Rüssel. Im letzten Kapitel habe ich die Gleichung e = e = e = e = e … der Physiker angeführt, welche nach den elementarsten Elementarteilchen suchen, aber diese noch immer nicht gefunden haben, wie ich 1979 auf der Basis meiner Einsichten vorhersagte, und wohl auch nie finden werden, denn die Natur beschränkt sich nicht auf die Formel a = a sondern befolgt die Formel von Goethe, alles ist gleich, alles ungleich, oder wenigstens ist es für unseren beschränkten menschlichen Verstand nicht möglich, alles unter der mathematischen Basisformel zusammenzufassen, wir gehen notwendigerweise über sie hinaus. -- Die Mathematik ist die Logik des Bauens und Erhaltens, aber für sich allein wäre sie wie eine grossartige Stadt aus atemberaubenden Hochhäusern doch ohne Leben, mit leeren Gebäuden und öden Strassen und Plätzen. Die Formel a = a ist wichtig aber nicht alles, die Gegenformel a ≠ a gilt ebenso. Das möchte ich als Trost für mathematisch weniger begabte Schüler und Schülerinnen verstanden wissen.

 

 

Symmetrie

 

Die mathematische Symmetrie ist nichts anderes als eine geometrische Visualisierung der mathematischen Basisformel a = a. Goethe formulierte eine weitere Logik mit seiner Maxime Alles ist gleich, alles ungleich …, für mich sozusagen eine Weltformel, und dann, in seinen kunsttheoretischen Schriften, diese wunderbare Beschreibung der höheren künstlerischen Symmetrie:

 

Alles, was uns daher als Zierde ansprechen soll, muss gegliedert sein, und zwar im höheren Sinne, dass es aus Teilen bestehe, die sich wechselsweise aufeinander beziehen. Hiezu wird erfordert, dass es eine Mitte habe, ein Oben und Unten, ein Hüben und Drüben, woraus zuerst Symmetrie entsteht, welche, wenn sie dem Verstande völlig fasslich bleibt, die Zierde auf der geringsten Stufe genannt werden kann. Je mannigfaltiger dann aber die Glieder werden, und je mehr jene anfängliche Symmetrie, verflochten, versteckt, in Gegensätzen abgewechselt, als ein offenbares Geheimnis vor unsern Augen steht, desto angenehmer wird die Zierde sein, und ganz vollkommen, wenn wir an jene ersten Grundlagen dabei nicht mehr denken, sondern als von einem Willkürlichen und Zufälligen überrascht werden.

 

Im Tagebuch seiner Italienischen Reise sprach Goethe von einem sich ewig drehenden Schlüssel. Was meinte er damit? Womöglich seine Formel Alles ist gleich, alles ungleich …? Er hat diese Formel auch sehr erfolgreich auf die Metamorphose der Pflanzen und Tiere angewendet, welche aus wiederholten gleichen Elementen hervorgingen, die sich je nach ihrem Ort im Organismus verschieden ausformen. Die fundamentale Richtigkeit seiner Metamorphose der Pflanzen wird von der modernen Biologie bestätigt (zum Beispiel Stephen Jay Gould, The Structure of Evolutionary Theory, Deep Homology, More Light on Goethe’s Angiosperm Archetype). Goethe gewann seine Einsichten über die Metamorphose der Pflanzen in Sizilien, und als er nach Rom zurückkehrte, wo er mit allen Formen der Kunst in Berührung kam, hat er seinen sich ewig drehenden Schlüssel auch an der bildnerischen Logik ausprobiert.

 

Hier möchte ich ein Bild nach seiner Symmetrie und seinen Symmetriebrüchen befragen, und zwar kein geringeres als Das Letzte Abenmahl von Leonardo da Vinci im ehemaligen Refektorium (Speisesaal) der Mönche des Klosters Santa Maria delle Grazie in Mailand  ls1.jpg  Der Bildraum ist symmetrisch im mathematischen Sinne, die Figuren sind auch symmetrisch angeordnet: Jesus in der Mitte seiner Jünger, drei und drei auf der einen Seite, drei und drei auf der anderen Seite. Doch beim näheren Hinschauen zeigen sich Gegensätze. Dazu muss man erst wissen, worum es geht. Jesus hat soeben angekündet, dass einer der Jünger ihn verraten werde. Die Jünger reagieren auf ganz verschiedene Weise auf die unerhörte Anschuldigung. Wer ist der Verräter? Sein Name ist noch nicht gefallen, doch die Jünger zeigen ihn auf indirekte Weise an, als ob sie insgeheim schon wüssten, wer es ist: Judas auf der linken Seite, welcher seinen Beutel mit den dreissig Silberlingen festhält und sich als einziger über den Tisch beugt. Die drei Jünger ganz links, Bartholomäus, Jacobus und Andreas, blicken all drei auf den Hinterkopf des Judas, während die drei Jünger ganz rechts, Matthäus, Thadäus und Simon, auf den Verräter hinweisen (die drei auf der dunklen Seite schauen, die drei auf der hellen Seite zeigen), Philippus springt auf und beteuert seine Unschuld, er ist die höchste Figur im Bild, Judas ihm gegenüber, symmetrischer Gegenpart, die tiefste. Jakobus der Ältere breitet erschrocken die Arme aus und beugt sich zurück, dabei blickt er auf die Schale, in welche Judas und Jesus ihr Brot tunken werden; das Zeichen womit der Verräter selbst verraten werden soll. Thomas hebt drohend seinen Zeigefinger und blickt dabei auf Judas hin. Johannes beugt sich dem fragenden Petrus zu – Wer ist es? – und hält seine Augen geschlossen. Würde er sie öffnen, so blickte er ins Gesicht des Judas. Petrus springt auf und beugt sich Johannes zu, dabei bedrängt er Judas, der sich ausweichend über den Tisch beugt, und setzt ihm gar noch den Griff seines Messers in den Rücken. Doch wie sehr Petrus den Verräter auch bedrängt, er kann ihn nicht von der Tafel der Heiligen Abendmahls vertreiben, die lange Tafel hält ihn wie eine Schranke im Bildraum zurück. Auch der Verräter hat seine Aufgabe im göttlichen Heilsplan, und damit dieser gelingen konnte, musste Jesus sterben, und also musste einer ihn verraten, der unglückliche Judas. Gemäss der Lehre der Kirche starb Jesus für die Sünden aller Menschen, nicht wegen Judas allein. Ist Judas schuldig? Als Verräter ist er es. Oder ist Judas etwa doch unschuldig? Als Figur in einem göttlichen Plan hätte er nur seine Aufgabe erfüllt, wie es die Kirche lehrt, somit wäre er unschuldig … Im Letzten Abendmahl geht es um den freien oder gebundenen Willen. Leonardo sagt mit seinen bildnerischen Mitteln, dass nur Gott allein diese Frage entscheiden kann, oder vielmehr dass nur Gott die beiden Perspektiven auf das menschliche Leben vereinen kann. Das ist augenfällig inszeniert. Der Bildraum stimmt perfekt mit dem realen Raum überein, wir können sie beide einzeln wahrnehmen aber nicht vereinen, auf unserem Niveau bleibt immer ein Bruch zwischen den beiden Perspektiven  ls8.GIF  Wir Menschen können die Welt nie als Einheit verstehen, es gibt zu allem eine Gegenperspektive. Wir können nur das eine und das andere bedenken und sorgfältig abwägen.

 

Gemäss Thomas Brachert hat der Bogen über dem Haupt Jesu einen Radius von einer Einheit im idealen Bildplan 6 mal 12. Der Mittelpunkt liegt auf der Schläfe Jesu. Zeichnet man den Kreis um diesen Punkt, so gibt es ein Quadrat gleicher Fläche, gebildet von der Hinterkante des Tisches, von der Kante eines Fensterrahmens, von der Unterseite des Bogens, und vom erhobenen Zeigefinger des Thomas. Die philosophische Frage nach dem freien oder gebundenen Willen ist ebenso schwer zu lösen wie die Quadratur des Kreises, unmöglich, Gott vorbehalten  ls7.JPG 

 

 

Geometrie in der Kunst

 

gia01.JPG gia02.GIF  gia03.GIF  gia04.JPG  gia05.GIF  gia06.JPG  gia07.JPG  gia08.JPG  gia09.JPG  gia10.GIF  gia11.JPG  gia12.JPG  gia13.JPG  gia13a.GIF  gia14.GIF  gia19.JPG  gia20.GIF  gia21.JPG  gia22.JPG  ls1.jpg  ls8.GIF  ls7.JPG  gia22.JPG  bella.JPG

 

Mathematik und Geometrie sind kein Erfordernis für die Kunst, aber es gab viele Maler und Plastiker, welche Geometrie verwendeten, zum Beispiel der unbekannte Meister des Poseidon vom Kap Artemision, eine grossartige Bronzefigur des griechischen Gottes Poseidon, welche beim Kap Artemision aus dem Meer gehoben worden war:  gia01.JPG  gia02.GIF  gia03.GIF Der griechische Gott holt weit aus, er zielt mit einem (verlorenen) Dreizack über die ausgestreckte linke Hand auf ein fernes Ziel. Der Gott wirkt ausserordentlich kraftvoll und konzentriert. Wie erreichte der Künstler diese Geschlossenheit bei einer offenen Form, der weit ausholenden Gebärde? Das Geheimnis liegt in einer eleganten geometrischen Konstruktion sowie der Kompositions-Technik, welche man mit einem italienischen Begriff contraposto nennt, nichts anderes als eine Anwendung der von Goethe beschriebenen höheren Form der Symmetrie. Aber zuerst wollen wir auf die Geometrie eingehen: Der Gott steht in einem grossen Kreis um den Nabel. Ein Bogen um den Auflagepunkt des Kreises berührt den Scheitel des Gottes und definiert die Höhe der zielenden Hand. Der Durchmesser des Kreises beträgt einen Ionischen Faden welcher in 36 Einheiten geteilt wird. Alle Masse der Konstruktion sind Mehrfache dieser Einheit, wie aus der beschrifteten Zeichnung hervorgeht. Jetzt wollen wir auch noch auf den contraposto eingehen, den Wechsel im Gleichen. Poseidon winkelt das linke Bein und den rechten Arm, während er das rechte Bein und den linken Arm streckt, wobei das gestreckte rechte Bein, der angewinkelte linke Oberschenkel und der angewinkelte rechte Unterarm in der Verlängerung zur Mitte auf den Nabel weisen, Zentrum des Kreises um den Gott (wobei links und rechts von der Bildfigur aus verstanden werden, wie üblich bei der Beschreibung eines Bildes oder einer Plastik). Die geometrische Konstruktion und der contraposto verleihen dieser Figur eine grossartige Geschlossenheit welche die weit ausgreifende Gebärde in pure Energie verwandelt …

 

Das römische Gegenstück des griechischen Poseidon war Neptun. Leonardo da Vinci zeichnete ihn mit vier Seepferden, zwei davon ziehen in die eine Richtung, die beiden anderen streben in die andere Richtung, er hält sie auf, das eine der beiden widerspenstigen Seepferde wirft seinen Kopf herum und bleckt die Zähne  gia04.JPG  Die Komposition basiert auf einer Geometrie des goldenen Schnittes  gia05.GIF  gia06.JPG  Neptun und die beiden widerspenstigen Pferde bilden eine höchst dynamische Gruppe auf der Basis einer Kreisschar, was im Negativ besonders anschaulich wird  gia07.JPG  Die Zeichnung befindet sich in Windsor und dürfte der sogenannte Karton zu einem Wandgemälde gewesen sein, bestimmt für den ursprünglichen idealen Salon der Villa Farnesina in Rom. Der Karton hätte genau den linearen Masstab 1:8. Hier die Zeichnung als Bild an der Wand in einer virtuellen Rekonstruktion  gia08.JPG

 

Die Villa Farnesina hat gemäss meiner Forschungsarbeit eine höchst spanndende Geschichte. Das ursprüngliche Bildprogramm wurde nicht realisiert, und ein später geplantes Bild für den Salon wurde um die Seitenstreifen beschnitten in ein zu schmales Feld der Gartenloggia im Erdgeschoss gemalt, nämlich Raphaels Galatea, hier gezeigt im originalen Format, einem Quadrat, anschliessend die geometrische Konstruktion und die Rekonstruktion des Bildes im ursprünglichen Salon  gia09.JPG  gia10.GIF  gia11.JPG  gia12.JPG  gia13.JPG  gia13a.GIF  gia14.GIF

 

Hier ein religiöses Bild, Piero della Francesca, Die Taufe Jesu, wobei die Zeichnungen für sich selber sprechen sollen  gia19.JPG  gia20.GIF  gia21.JPG  gia22.JPG

 

Die Befragung des Bildes nach seiner künstlerischen Symmetrie im Sinne von Goethe kann den Sinn erschliessen, und geometrische Analysen können die Urheberschaft klären, zum Beispiel im Fall eines Raphael, im Tresor einer Zürcher Bank, und eines Leonardo, von einem Schweizer Kunstsammler erworben  gia22.JPG  bella.JPG  Von meiner Seite her kann ich den Raphael wie auch den Leonardo bestätigen, das originale Format des Leonardo rekonstruieren und das Bild in die Serie Ginevra de Benci – Bella Principessa – Isabella d’Este – Mona Lisa einreihen, wobei die Mona Lisa als ein Gleichnis des Sehens zu verstehen wäre (im Sinne meiner Interpretation von 1974/75).

 

 

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