„Die Schweiz braucht neue Projekte“  Bundespräsidentin Doris Leuthard

 

Faire Kulturgeschichte   ein offener Brief

 

Zürich, 29./30. März 2011

 

Sehr geehrte Frau Bundespräsidentin Leuthard,

in einer Radio-Ansprache sagten Sie, dass die Schweiz neue Projekte brauche. Ich habe eines, eine faire Kulturgeschichte als Beitrag zu einer prosperierenden globalen Gesellschaft. Wenn wir die anstehenden weltweiten Probleme lösen wollen, sind wir auf Menschen guten Willens in aller Ländern und Erdteilen angewiesen, die helfen, unsere gemeinsame Zivilisation weiter zu entwickeln, und dazu gehört eine faire Kulturgeschichte, welche die historischen Beiträge aller Völker anerkennt, auch jene zur Mathematik, Logik des Bauens und Erhaltens. Unsere Schulbücher tun so, als wäre die Mathematik von den Griechen erfunden worden, obschon die sogenannte Formel des Pythagoras lange vor ihm den Ägyptern und Mesopotamiern bekannt war, und das weiss man spätestens seit dem Fund des Babylonischen Tontäfelchens Plimpton 322 aus der Zeit um 1650 BC, darüber hinaus fand ich einen wahren mathematischen Kosmos in der architektonischen und schriftlichen Überlieferung des Niltals und des Zweistromlandes, einschliesslich einer systematischen Berechnung des Kreises um 2450 vor Christus, mehr als zweitausend Jahre älter als jenes von Archimedes.

 

Hier ein kurzer Einstieg. Wie berechnet man die Diagonale eines Quadrates? Praktische Erfahrung mochte zu einer einfachen Formel geführt haben: Seitenlänge eines Quadrates 5 Schritte oder ein Mehrfaches davon, Diagonale 7 Schritte oder ein Mehrfaches davon; Seitenlänge 7 Schritte oder ein Mehrfaches davon, Diagonale 10 Schritte oder ein Mehrfaches davon … Diese praktische Formel genügte für lange Zeit, aber dann kam ein ägyptischer ‚Seilzieher’ auf die Idee, die beiden Seitenlängen zu kombinieren, 5 und 7 gleich 12 Schritte, und nach der Diagonale des neuen Quadrates zu fragen, welche 7 und 10 gleich 17 Schritte lang sein dürfte, und wirklich, die Ausführung des Experimentes ergab eine Diagonale dieser Länge, 17 Schritte, und wenn die Seite eines noch grösseren Quadrates 7 und 10 gleich 17 Schritte misst – wenn man die Diagonale des neuen Quadrates als Seite eines noch grösseren Quadrates verwendet –, so misst die Diagonale 10 und 14 gleich 24 Schritte, das Doppelte der anfänglichen 12 Schritte .... Über kurz oder lang führte diese Einsicht zu einem Algorithmus, der beispielsweise in Form einer schrägen Zahlsäule dargestellt werden kann. Zwei Zahlen zusammen ergeben die Zahl darunter, während das Doppelte der ersten Zahl einer Zeile die letzte Zahl ergibt:

 

    1       1       2

        2       3       4

            5       7      10

               12      17      24

                   29      41      58

                       70      99     140

                          169     239     338

                              408     577     806

                                  985    1393    ...

 

Die Zahlen 12 17 24 finden sich in der Anlage des Djoser in Saqqara, die Zahlen 70 99 140 in nachfolgenden ägyptischen Pyramiden, und wenn man 1393 durch 985 teilt, erhält man 1,41421319… anstelle des genauen Wertes 1,4142136… für die Wurzel 2, im Babylonischen System 1;24,51,10,3,2,… Lässt man die kleinen Zahlen weg, so bleibt 1;24,51,10, der sensationelle Wert auf dem Babylonischen Täfelchen YBC 7289 von ungefähr 1650 vor Christus, gleich alt wie Plimpton 322. Noch besser, die obige Zahlsäule ist das genaue Äquivalent des Kettenbruchs für die Wurzel 2, nur sehr viel einfacher zugänglich als der griechische Kettenbruch, was die Frage nach dessen Ursprung beantwortet. Eine analoge Zahlsäule ermöglicht die Approximation der Wurzel 3, mithin die Berechnung des Würfels, des gleichseitigen Dreiecks wie Sechsecks (und enthält jene zwei Werte für die Wurzel 3 die Archimedes für seine Berechnung des Kreises verwendete, was eine andere offene Frage der Mathematikgeschichte beantwortet). Noch eine Zahlsäule erlaubt die Approximation der Wurzel 5, damit die Berechnung des Doppelquadrates wie auch des Fünf- und Zehnecks:

 

   1       1       5

       2       6      10

       1       3       5

           4       8      20

           2       4      10

           1       2       5

               3       7      15

                  10      22      50

                   5      11      25

                      16      36      80

                       8      18      40

                       4       9      20   und so weiter

 

Diese Zahlsäule enthält zwei ‚goldene’ Zahlfolgen, die sog. Fibonacci-Folge 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 … und die sog. Lucas-Folge 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 … (die Summe zweier aufeinanderfolgender Zahlen ergibt die nächste Zahl).

 

Ein Quadrat messe 10 mal 10 ägyptische Königsellen oder 70 mal 70 Handbreiten oder 280 mal 280 Fingerbreiten. Wie lang ist die Diagonale? Die erste Zahlsäule liefert die Zeile 70 99 140, das heisst: wenn die Seite eines Quadrates 70 Handbreiten misst, so misst die Diagonale praktisch 99 Handbreiten oder 396 Fingerbreiten. Als Nächstes wollen wir uns ein Gitter von 10 mal 10 kleinen Quadraten vorstellen, jedes davon 1 mal 1 Königselle messend, dazu einen Kreis im Gitter, Radius 5 Ellen oder 35 Handbreiten oder 140 Fingerbreiten:

 

          . . . . . d . . . . .

          . . e . . . . . c . .

          . f . . . . . . . b .

          . . . . . . . . . . .

          . . . . . . . . . . .

          g . . . . + . . . . a

          . . . . . . . . . . .

          . . . . . . . . . . .

          . h . . . . . . . l .

          . . i . . . . . k . .

          . . . . . j . . . . .

 

Das kleine Kreuz + gibt die Kreismitte an, die Buchstaben a b c d e f g h i j k l bezeichnen Punkte auf dem Umfang. Alle diese Punkte sind rational definiert, vier als Enden der Achsen, die Punkte a und d und g und j, und die übrigen acht Punkte, b c und e f und h i und k l, vom sog. Heiligen Dreieck 3-4-5 (waagrechter oder senkrechter Abstand von einer Achse 3 Ellen, senkrechter oder waagrechter Abstand von der anderen Achse 4 Ellen, schräger Abstand von der Mitte 5 Ellen). Der Kreisumfang hat vier kurze Bögen, b c und e f und h i und k l, sowie acht lange Bögen, a b und c d und d e und f g und g h und i j und j k und l a. Zeichnet man das grosse Quadrat und den Kreis und misst man die Länge der Bögen, so findet man für die kurzen Bögen praktisch 40 und für die langen Bögen praktisch 90 Fingerbreiten, insgesamt einen Umfang von 880 Fingerbreiten oder 220 Handbreiten, und teilt man ihn durch den Durchmesser 10 Ellen oder 70 Handbreiten, so erhält man 22/7 oder 3 1/7, den nach Archimedes benannten sehr guten Näherungswert für Pi. Wenn man dagegen die Punkte a b c d e f g h i j k l a fortlaufend mit Geraden verbindet, so erhält man ein Polygon von 4 kurzen und 8 langen Seiten, insgesamt 12 Seiten. Deren Längen kann man mithilfe der obigen Zahlsäulen berechnen, 4 mal Wurzel 2 plus 8 mal Wurzel 10, d.h. 8 mal Wurzel 2 mal Wurzel 5. Bedenkt man dass die Seiten des Polygons ein wenig kürzer sind als die Bögen, so kann man dem entgegenwirken, indem man etwas zu grosse Werte aus den Zahlsäulen verwendet, 10/7 für die Wurzel 2, und 9/4 für die Wurzel 5. So erhält man für den Umfang 4 x 10/7 plus 8 x 10/7 x 9/4 Königsellen oder 4 x 10 plus 8 x 10 x 9/4 Handbreiten gleich 40 plus 180 Handbreiten gleich 220 Handbreiten, und wenn man diesen Umfang durch den Durchmesser 70 Handbreiten teilt, so erhält man wieder 220/70 gleich 22/7 gleich 3 1/7 für Pi.

 

Dieses Verfahren kann man erweitern, indem man das Gitter verfeinert, von 10 mal 10 zu 50 mal 50 zu 250 mal 250 zu 1250 mal 1250 … immer kleineren Einheiten. Dabei stellt sich mit jeder Verfeinerung des Gitters um den Faktor 5 ein neues Tripel ein. Die Folge der Tripel kann man mit einem linearen Algorithmus einfach berechnen. Hat man ein Tripel a-b-c und möchte man das nächste erfahren, so berechne man die folgenden Terme

 

   plus minus 4a plus minus 3b     plus minus 3a plus minus 4b     5c

 

und wähle die positiven Werte für die kleineren beiden Zahlen die weder durch 5 teilbar sind noch Null ergeben. Wenn wir vom ersten Tripel 3-4-5 ausgehend das zweite Tripel berechnen wollen, ergeben sich die Terme

 

   plus minus 4x3 plus minus 3x4     plus minus 3x3 plus minus 4x4     5x5

 

   plus minus 12 plus minus 12     plus minus 9 plus minus 16    25

 

Wir verwenden plus 12 plus 12 gleich 24, minus 9 plus 16 gleich 7, zudem 25, und erhalten so das zweite Tripel 24-7-25 oder 7-24-25. Hier die Folge der ersten vier Tripel:

 

   3-4-7    15-20-25    75-100-125    375-500-625    ...

             7-24-25    35-120-125    175-600-625    ...

                        44-117-125    220-585-625    ...

                                      336-527-625    ...

                                                     ...

 

Diese Tripel generieren 8 16 24 32 … Kreispunkte, zusammen mit den Enden der Achsen erhalten wir 12 20 28 36 … Punkte und Ecken der sich langsam rundenden Polygone. Diese haben immer zwei oder drei verschiedene Seitenlängen, die sich allein mit den Wurzeln 2 und 5 und 2x5 gleich 10 berechnen lassen. Damit haben wir ein vollständiges Verfahren der Kreisberechnung, eine systematische Methode welche sehr gute Näherungswerte für Pi liefert. Mithilfe des ersten Polygons fanden wir 22/7. Berechnet man das zweite auf analoge Weise, erhält man den Näherungswert 157/50. Schon diese beiden Werte erlauben additive Folgen. Man beginne mit 4 über 1 und addiere mehrmals nacheinander 3 über 1 in der Weise die in der Schule verboten war:

 

   4/1   (plus 3/1)   7/2   10/3   13/4   16/5   19/6   22/7   25/8   28/9

 

In dieser Folge findet man wieder den Wert 22/7. Man beginne eine neue Folge mit 3/1 und addiere fortlaufend 22/7 :

 

   3/1   (plus 22/7)   25/8   47/15   69/22   91/29   113/36   135/43   157/50   179/57   201/64

  

   223/71   245/78   267/85   289/92   311/99   333/106   355/113   377/120   399/127  

 

   1521/484 = 39x39 / 22x22

 

Eine andere Folge:

 

   9/3   (plus 19/6)   28/9   47/15   66/21   85/27      256/81 = 16x16/9x9

 

Und so weiter, es gibt noch mehr solche Folgen. Man kann dasselbe Prinzip auch für quadratische und kubische Wurzeln verwenden, ebenso für lunisolare Kalender.

 

Jean-Philippe Lauer, der grosse französische Archäologe und Ägyptologe der viele Jahrzehnte seines langen Lebens der Erforschung und Rekonstruktion der von Imhotep stammenden Djoser-Anlage in Saqqara widmete, entdeckte in der Königskammer der Cheops-Pyramide das Heilige Dreieck 3-4-5 beziehungsweise 15-20-25 Königsellen: die Diagonale der schmalen Wand misst 15 Ellen, die Länge der Kammer 20 Ellen, die Diagonale des Raumes 25 Ellen. 1994 fand ich in den Massen derselben Pyramide Zahlen der obigen Säulen und weitere Elemente des oben skizzierten Verfahrens für die Berechnung des Kreises die mir erlauben, den Architekten des ältesten Weltwunders, möglicherweise Hemon, aus der Schule des Imhotep hervorgegangen, als Entdecker der ersten systematischen Kreisberechnung zu bezeichnen. Überdies fand ich im Papyrus Rhind, oder Rhind Mathematical Papyrus RMP, viele Belege für die obigen und weitere Zahlsäulen und -folgen. Bislang erkannte man im RMP nur einen einzigen Näherungswert für Pi, den impliziten Wert 256/81, der sich aus dem Umstand ergibt, dass ein Quadrat der Seitenlänge 8 und ein Kreis vom Durchmesser 9 praktisch dieselbe Fläche haben. Aber das ist nur einer von vielen impliziten Pi-Werten! Der berühmte aber bisher verkannte Papyrus von etwa 1650 vor Christus (ungefähr gleich alt wie die oben erwähnten Babylonischen Tontäfelchen), Kopie einer verlorenen Schriftrolle von ca. 1850 vor Christus, ist von anderer Art als unsere Schulbücher. Dieselben Aufgaben können auf mehreren Ebenen gelöst werden. Als Beispiel RMP 32. Ahmes, Kopist der verlorenen älteren Rolle, teilt 2 durch 1 1/3 1/4 und erhält 1 1/6 1/12 1/114 1/228, oder, in meiner einfacheren Notation, 2 geteilt durch 1 '3 '4 gibt 1 '6 '12 '114 '228. Anfänger lernen anhand dieser Aufgabe den Umgang mit Stammbrüchen, während Fortgeschrittene mit einer sehr anspruchsvollen Aufgabe konfrontiert worden sein mochten. Man stelle sich einen Quader vor, dessen Kanten 2 und 1 '3 '4 und 1 '6 '12 '114 '228 Einheiten messen. Wie lang ist die Diagonale des Volumens? Diese Frage können wir nicht beantworten, mochten die Schüler ausgerufen haben, das Problem ist unlösbar! Doch, es geht, und zwar ganz einfach und elegant. Die Diagonale des Volumens misst genau

 

   1 '3 '4  plus  1 '6 '12 '114 '228  Einheiten

 

   1 1  plus  '3 '6  plus  '4 '12  plus  '114 '228  Einheiten

 

   2  plus  '2  plus  '3  plus  '76  Einheiten

 

Die verblüffend einfache und exakte Lösung einer höchst anspruchsvollen Aufgabe basiert auf einem Theorem oder Lemma:

 

   2 geteilt durch A sei B

 

   Höhe eines Quaders  2 Einheiten

   Länge des Quaders  A Einheiten

   Breite des Quaders  B Einheiten

   Boden- und Deckfläche je  AB Quadrateinheiten

   Volumen  2AB Kubikeinheiten

   Diagonale des Volumens  A+B Einheiten

 

Dieses Lemma kann man für die Berechnung von quaderförmigen Kornspeichern verwenden, wie es in RMP 34 geschieht.

 

Stammbrüche gelten als mühsam und umständlich, den späteren Rechenverfahren weit unterlegen. Das ägyptische Rechnen ist aber sehr einfach wenn man die obigen Zahlsäulen und Zahlreihen verwendet: man kann weitgehend mit ganzen Zahlen rechnen, handliche Werte brauchen, Zwischenergebnisse runden, und man wird erstaunt feststellen, dass sich die Fehler weitgehend ausgleichen, sozusagen wegaddieren. Ein Beispiel. Man denke sich ein Quadrat der Seitenlänge 10 mal 10 Königsellen, umgebe es mit einem Kreis und berechne die Länge des Kreisumfangs. Der Durchmesser ist gegeben von der Diagonale des Quadrates. Dessen Seitenlänge misst 10 Ellen oder 70 Handbreiten. In der ersten Zahlsäule finden wir das Paar 70 und 99, demnach beträgt die Diagonale des Quadrates beziehungsweise der Durchmesser des Kreises praktisch 99 Handbreiten. In der langen Pi-Folge haben wir das Paar 311 und 99, demnach beträgt der Kreisumfang praktisch 311 Ellen. Der genaue Wert? 311,0018… Handbreiten. Die Handbreite des Neuen Reiches mass 7,5 cm, der Fehler beträgt 0,0018… Handbreiten oder 0,135… Millimeter auf eine Kreislänge von 23,325… Metern.

 

Als weiteres Beispiel möchte ich eine Zinsberechnung aus dem Jahr 1996 anführen. Nehmen wir an, jemand spare 68'954 Franken (eine frei erfundene Zahl) und bringe das Geld auf die Bank. Diese gewähre einen Zins von ’101 ’202 ’303 ’606 oder knapp zwei Prozent (eine Zahl aus dem RMP). Wie vermehrt sich das Vermögen im Lauf der Jahre? Man multipliziere es mit den Brüchen, runde alle Zahlen und addiere sie:

 

Jahr 1   Vermögen  68’954   Zins  683 341 228 114  =  1’366

Jahr 2   Vermögen  70’320   Zins  696 348 232 116  =  1’392

Jahr 3   Vermögen  71’712   Zins  710 355 237 118  =  1'420

Jahr 4   Vermögen  73’132   Zins  724 362 241 121  =  1’448

Jahr 5   Vermögen  74’580   Zins  738 369 246 123  =  1’476

 

Jahr 6   Vermögen  76’056   Zins  753 377 251 126  =  1’507

Jahr 7   Vermögen  77’563   Zins  768 384 256 128  =  1’536

Jahr 8   Vermögen  79’099   Zins  783 392 261 131  =  1’567

Jahr 9   Vermögen  80’666   Zins  799 399 266 133  =  1’597

Jahr 10  Vermögen  82’263   Zins  814 407 271 136  =  1’628

 

Jahr 11  Vermögen  83’891   Zins  831 415 277 138  =  1’661

Jahr 12  Vermögen  85’552   Zins  847 424 282 141  =  1’694

Jahr 13  Vermögen  87’246   Zins  864 432 288 144  =  1’728

Jahr 14  Vermögen  88’974   Zins  881 440 294 147  =  1’762

 

JAHR 15  VERMÖGEN  90’736 Franken

 

Mit allen gerundeten Zinsen bekommen wir ein neues Vermögen von 90'736 Franken. Und was wäre der genaue Betrag? 90'736,365… Franken, der Fehler beläuft sich auf weniger als vierzig Rappen!

 

Am Radio hörte ich einen amerikanischen Mathematik-Professor sagen, dass die axiomatische Mathematik an ihre Grenzen gekommen sei, man sollte auch andere Ansätze bedenken und auffrischen, zum Beispiel den Babylonischen. Das gefiel mir. In der Schule wird oft der Eindruck vermittelt, es gäbe nur einen richtigen Lösungsweg, dabei ist in der Mathematik alles miteinander verbunden, man kann jedes Problem auf vielerlei Weise angehen, und meine (wie ich selber sagen darf erfolgreichen Nachhilfestunden im Rahmen von Freiwilligenarbeit) haben zum Ziel, eine Aufgabe von mehreren Seiten her auszuleuchten, sie gewissermassen in der Vorstellung zu drehen und wenden. Im Weiteren ist es mir ein Anliegen, aufzuzeigen, was die Mathematik bezweckt, wofür sie da ist. Man kann die Mathematik als Logik des Bauens und Erhaltens bezeichnen. Ihre Basisformel a = a besagt, dass ein idealer Gegenstand a genau gleich sei wie ein anderes a, und dass dieses a für immer und ewig sich selber gleich bleibe. Das sind ideale Eigenschaften technologischer Produkte. Nehmen wir einen Backstein b, oder mehrere Backsteine b und b und b … Die Gleichung b = b = b = b = b = … enthält sozusagen die Vorschrift, dass die Backsteine dieselbe Form, Grösse und Konsistenz aufweisen sollen, so dass der Bau der Mauer gelingen kann, während die elementare Gleichung b = b aussagt, dass jeder Backstein sich selber gleich bleiben soll, weder im Regen aufweichen noch in der Sommersonne springen und bröckeln darf, so dass die Mauer bestehen kann … Man hat sich oft gewundert, weshalb mathematische Erkenntnisse wie von selber zu technischen Innovationen führen – ohne die seltsame kleine Zahl i (Wurzel aus minus Eins, kurz für imaginär) gäbe es kein Radio, keinen Fernseher und keinen Computer … Aus meiner Sicht ist das einfach zu verstehen, die Zahlen und anderen mathematischen Objekte verkörpern die Logik des Bauens und Erhaltens. Eine andere Logik hat Goethe formuliert: „Alles ist gleich, alles ungleich …“ (Wilhelm Meisters Wanderjahre, Aus Makariens Archiv, sollte ursprünglich in der Mitte des Romans stehen; wiederhol in den Maximen und Reflexionen). Man kann dies als die Logik der Kunst, des Lebens und der Natur bezeichnen. Die einen sind begabter in mathematischer Logik, die anderen in dieser Logik (das sage ich zum Trost für jene Schülerinnen und Schüler, die Mühe mit Zahlen haben).

 

Sehr geehrte Frau Leuthard, als Bundesrätin und Bundespräsidentin sind Sie bestimmt in der Lage, meinen Ausführungen zu folgen, oder sie, rasch überfliegend, zur Kenntnis zu nehmen und mein Anliegen zu prüfen. Es gibt einen wahren mathematischen Kosmos unterhalb der Schwelle der griechischen Mathematik, den es gilt, im eigenen Recht zu erforschen und zu würdigen, sagte doch kein geringerer als der grosse griechische Philosoph Aristoteles dass die ersten mathematischen Techniken aus Ägypten stammen – peri aigypton hai mathaematikai proton technai synestaesan (Metaphysik, Buch 1 Kapitel 1).

 

Eine faire Kulturgeschichte, welche auch die Geschichte und Archäologie der Mathematik einbezieht, wäre meiner Meinung nach ein Beitrag zu einer prosperierenden globalen Gesellschaft, würde zeigen, dass die Zivilisation nicht einfach eine westliche Erfindung sei sondern eine gemeinsame Errungenschaft, die es gilt, gemeinsam weiterzuentwickeln, wenn wir die anstehenden grossen weltweiten Problem lösen wollen.

 

Mit freundlichen Grüssen

 

Franz Gnaedinger

 

 

 

 

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